{"id":1191,"date":"2020-10-27T19:55:48","date_gmt":"2020-10-27T17:55:48","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=1191"},"modified":"2026-02-05T11:28:19","modified_gmt":"2026-02-05T09:28:19","slug":"tasokuviot","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/","title":{"rendered":"Tasokuviot"},"content":{"rendered":"
\n

Tarkastelemme er\u00e4iden tasokuvioiden pinta-alaa \\(A\\) ja ymp\u00e4rysmittaa eli piirin pituutta \\(P\\). Tyypillisi\u00e4 esimerkkej\u00e4 tasokuvioista ovat ympyr\u00e4, kolmio, suorakulmio, suunnikas ja puolisuunnikas.<\/p>\n

Puolisuunnikas<\/b><\/p>\n

Puolisuunnikkaalle \\(A=\\frac{a+b}{2} \\cdot h\\) ja \\(P=a+b+c+d\\). Pinta-alan kaava saadaan jakamalla puolisuunnikas kolmeen osaan, joista yksi on suorakulmio ja kaksi muuta suorakulmaisia kolmioita. Piirin pituuden kaava on triviaali.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Kolmio<\/b><\/p>\n

Kolmion tapauksessa piirille p\u00e4tee selv\u00e4sti \\(P=a+b+c\\). Kolmion tuttu pinta-alan kaava \\(A=\\frac{bh}{2}\\) saadaan kirjoitettua toisessa muodossa, kun otetaan huomioon trigonometriasta tuttu yhteys \\[\\sin\\alpha = \\frac{h}{a} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad h=a \\cdot \\sin\\alpha. \\] Saadaan \\(A=\\frac{bh}{2}=\\frac{ab}{2} \\cdot \\sin\\alpha \\).<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Kolmioon liittyy my\u00f6s antiikin kreikkalaisen matemaatikon Heron Aleksandrialaisen kehitt\u00e4m\u00e4 Heronin kaava<\/em>, jonka avulla mink\u00e4 tahansa kolmion pinta-ala voidaan laskea kolmion sivujen pituuksien avulla. Olkoon kolmion sivujen pituudet \\(a\\), \\(b\\) ja \\(c\\), kuten oheisessa kuvassa. T\u00e4ll\u00f6in Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-ala on \\[A=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\\] miss\u00e4 \\(s=\\frac{P}{2}=\\frac{a+b+c}{2}\\) eli puolet kolmion piirist\u00e4.<\/p>\n

S\u00e4\u00e4nn\u00f6llinen monikulmio<\/b><\/p>\n

Tarkastellaan ensin s\u00e4\u00e4nn\u00f6llisen viisikulmion pinta-alaa. S\u00e4\u00e4nn\u00f6llinen viisikulmio koostuu kymmenest\u00e4 yht\u00e4suuresta suorakulmaisesta kolmiosta. Kuvassa olevan viisikulmion pinta-ala on \\[ A = 5 \\cdot \\frac{ab}{2}. \\] Toisaalta tiedet\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 \\(a=r \\cos{\\alpha}\\) ja \\(\\frac{b}{2}=r \\sin{\\alpha} \\). N\u00e4in ollen suuremman kolmion, joka koostuu kahdesta suorakulmaisesta pienest\u00e4 kolmiosta, pinta-ala on \\[\\frac{ab}{2} = r^2 \\cos{\\alpha} \\sin{\\alpha} = \\frac{r^2}{2} \\sin(2\\alpha),\\] miss\u00e4 \\(2\\alpha = \\frac{2\\pi}{5}\\). T\u00e4ten \\[ A= \\frac{5r^2}{2} \\sin\\left( \\frac{2\\pi}{5} \\right) = \\frac{5\\sqrt{10+2\\sqrt{5}}}{8}\\, r^2.\\]<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Vastaavalla tavalla voit selvitt\u00e4\u00e4 my\u00f6s useampikulmaisten s\u00e4\u00e4nn\u00f6llisten monikulmioiden pinta-alan! S\u00e4\u00e4nn\u00f6llisille \\(n\\)-kulmiolle on voimassa \\[A = \\frac{nr^2}{2}\\, \\sin\\left(\\frac{2\\pi}{n}\\right). \\] S\u00e4\u00e4nn\u00f6llisen monikulmion piiri \\(P\\) voidaan my\u00f6s lausua kulmien lukum\u00e4\u00e4r\u00e4n \\(n\\) ja pituuden \\(r\\) funktiona. Keksitk\u00f6 kaavan itse?<\/p>\n

Ellipsi<\/b><\/p>\n

Litistynytt\u00e4 ympyr\u00e4\u00e4 muistuttavan ellipsin pinta-alan kaava on \\(A=\\pi ab\\). Tapauksessa \\(a=b\\) ellipsi redusoituu tavalliseksi ympyr\u00e4ksi, jonka pinta-ala on tunnetusti \\(A=\\pi r^2\\), miss\u00e4 \\(r=a=b\\).<\/p>\n

Ellipsin piirin kaava on huomattavasti hankalampi, ja se ohitetaan.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Kochin lumihiutale<\/b><\/p>\n

Mielenkiintoinen esimerkki tasokuviosta on niin kutsuttu Kochin lumihiutale. T\u00e4m\u00e4 tasokuvio on fraktaali, jonka reunaviiva n\u00e4ytt\u00e4\u00e4 samankaltaiselta katsoipa sit\u00e4 mill\u00e4 suurennoksella hyv\u00e4ns\u00e4.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Ensimm\u00e4isess\u00e4 vaiheessa l\u00e4hdet\u00e4\u00e4n liikkeelle tasasivuisesta kolmiosta, jonka sivujen keskimm\u00e4inen kolmannes korvataan kahdella janalla, joiden pituus on kolmannes alkuper\u00e4isen tasasivuisen kolmion sivujen pituuksista. N\u00e4m\u00e4 kaksi janaa muodostavat uuden tasasivuisen kolmion kaksi sivua.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Jatkamalla t\u00e4t\u00e4 prosessia \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n pitk\u00e4lle muodostuu lumihiutaletta muistuttuva kuvio.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Jokaisessa vaiheessa k\u00e4yr\u00e4n pituus kasvaa kolmasosalla aiemmasta vaiheesta. Jos alkuper\u00e4isen tasasivuisen kolmion sivun pituus on \\(a>0\\), niin alussa \\(P_0 = 3a\\). Ensimm\u00e4isen vaiheen j\u00e4lkeen \\(P_1=3a\\cdot \\frac{4}{3}\\), toisen vaiheen j\u00e4lkeen \\(P_2 = 3a\\cdot \\left( \\frac{4}{3} \\right)^2\\) ja yleisesti k:n vaiheen j\u00e4lkeen \\[ P_k = 3a\\cdot \\left( \\frac{4}{3} \\right)^k, \\quad k\\in\\mathbb{N}.\\] T\u00e4st\u00e4 voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4, ett\u00e4 reunak\u00e4yr\u00e4 on \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n pitk\u00e4: \\[ P = \\lim_{k\\to\\infty} P_k = \\lim_{k\\to\\infty} 3a\\cdot \\left( \\frac{4}{3} \\right)^k = \\infty.\\]<\/p>\n

Voidaan osoittaa, ett\u00e4 Kochin lumihiutalek\u00e4yr\u00e4n pinta-ala on \u00e4\u00e4rellinen, vaikka sen reunak\u00e4yr\u00e4 onkin \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n pitk\u00e4!<\/p>\n

\n

Tekij\u00e4t: Ella Pirhonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tarkastelemme er\u00e4iden tasokuvioiden pinta-alaa \\(A\\) ja ymp\u00e4rysmittaa eli piirin pituutta \\(P\\). Tyypillisi\u00e4 esimerkkej\u00e4 tasokuvioista ovat ympyr\u00e4, kolmio, suorakulmio, suunnikas ja puolisuunnikas. Puolisuunnikas Puolisuunnikkaalle \\(A=\\frac{a+b}{2} \\cdot h\\) ja \\(P=a+b+c+d\\). Pinta-alan kaava saadaan jakamalla puolisuunnikas kolmeen osaan, joista yksi on suorakulmio ja kaksi muuta suorakulmaisia kolmioita. Piirin pituuden kaava on triviaali. Kolmio Kolmion tapauksessa piirille p\u00e4tee selv\u00e4sti […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-1191","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nTasokuviot - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Tasokuviot - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tarkastelemme er\u00e4iden tasokuvioiden pinta-alaa (A) ja ymp\u00e4rysmittaa eli piirin pituutta (P). Tyypillisi\u00e4 esimerkkej\u00e4 tasokuvioista ovat ympyr\u00e4, kolmio, suorakulmio, suunnikas ja puolisuunnikas. Puolisuunnikas Puolisuunnikkaalle (A=frac{a+b}{2} cdot h) ja (P=a+b+c+d). Pinta-alan kaava saadaan jakamalla puolisuunnikas kolmeen osaan, joista yksi on suorakulmio ja kaksi muuta suorakulmaisia kolmioita. Piirin pituuden kaava on triviaali. Kolmio Kolmion tapauksessa piirille p\u00e4tee selv\u00e4sti […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:28:19+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"4 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/\",\"name\":\"Tasokuviot - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Taso1-6.svg\",\"datePublished\":\"2020-10-27T17:55:48+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:28:19+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Taso1-6.svg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Taso1-6.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Tasokuviot\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Tasokuviot - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Tasokuviot - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Tarkastelemme er\u00e4iden tasokuvioiden pinta-alaa (A) ja ymp\u00e4rysmittaa eli piirin pituutta (P). Tyypillisi\u00e4 esimerkkej\u00e4 tasokuvioista ovat ympyr\u00e4, kolmio, suorakulmio, suunnikas ja puolisuunnikas. Puolisuunnikas Puolisuunnikkaalle (A=frac{a+b}{2} cdot h) ja (P=a+b+c+d). Pinta-alan kaava saadaan jakamalla puolisuunnikas kolmeen osaan, joista yksi on suorakulmio ja kaksi muuta suorakulmaisia kolmioita. Piirin pituuden kaava on triviaali. Kolmio Kolmion tapauksessa piirille p\u00e4tee selv\u00e4sti […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:28:19+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"4 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/","name":"Tasokuviot - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Taso1-6.svg","datePublished":"2020-10-27T17:55:48+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:28:19+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Taso1-6.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Taso1-6.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tasokuviot\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Tasokuviot"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1191","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1191"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1191\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5314,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1191\/revisions\/5314"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1191"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}