{"id":1725,"date":"2020-10-28T19:27:43","date_gmt":"2020-10-28T17:27:43","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=1725"},"modified":"2026-02-05T11:26:14","modified_gmt":"2026-02-05T09:26:14","slug":"trigonometria","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/","title":{"rendered":"Trigonometria"},"content":{"rendered":"
\n

Sanan trigonometria merkityksen voi l\u00f6yt\u00e4\u00e4 antiikan kreikan kielest\u00e4, jossa sana trigonos<\/em> merkitsi kolmekulmaista ja m\u00e9tron<\/em> mittaamista. Muun muassa n\u00e4ist\u00e4 asioista trigonometriassa on kyse.<\/p>\n

Trigonometrian avulla voidaan ratkaista kolmion kulmiin ja sivujen pituuksiin liittyvi\u00e4 ongelmia, mill\u00e4 oli aikoinaan hyvin suuri merkitys erityisesti t\u00e4htitieteess\u00e4. Nykyisin trigonometrian sovelluksia tarvitaan my\u00f6s esimerkiksi arkkitehtuurissa, aaltoliikkeen mallinnuksessa ja s\u00e4hk\u00f6opissa.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka sivuja merkit\u00e4\u00e4n kirjaimilla \\(a\\), \\(b\\) ja \\(c\\). Alla olevissa kaavoissa samoilla kirjaimilla viitataan my\u00f6s n\u00e4iden sivujen pituuksiin. Olkoon sivun \\(a\\) vastainen kulma \\(\\alpha\\in (0,\\frac{\\pi}{2})\\). Suorakulmaisen kolmion lyhyit\u00e4 sivuja \\(a\\) ja \\(b\\) kutsutaan kateeteiksi ja pitk\u00e4\u00e4 sivua \\(c\\) hypotenuusaksi. Nyt voidaan muodostaa erilaisia trigonometrisia suhteita:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Nimi<\/th>\nMerkint\u00e4<\/th>\nSuhde<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Sini<\/td>\n\\(\\sin \\alpha \\)<\/td>\n\\(\\frac{a}{c}\\)<\/td>\n<\/tr>\n
Kosini<\/td>\n\\(\\cos \\alpha \\)<\/td>\n\\(\\frac{b}{c}\\)<\/td>\n<\/tr>\n
Tangentti<\/td>\n\\(\\tan \\alpha \\)<\/td>\n\\(\\frac{a}{b}\\)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Esimerkiksi kulman \\(\\alpha\\) kosini (eli komplementtikulman sini) saadaan, kun jaetaan kulman \\(\\alpha\\) viereisen kateetin pituus hypotenuusan pituudella. Koska \\(\\sin\\alpha=\\frac{a}{c}\\), niin \\(a=c \\sin\\alpha\\). Vastaavasti p\u00e4\u00e4tell\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 \\(b=c \\cos \\alpha\\). N\u00e4in ollen kulman \\(\\alpha\\) tangentille p\u00e4tee \\[\\tan\\alpha = \\frac{a}{b}=\\frac{c \\sin\\alpha}{c \\cos \\alpha} = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos \\alpha}.\\]<\/p>\n

N\u00e4ille suhteille on olemassa my\u00f6s k\u00e4\u00e4nteisluvut.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Nimi<\/th>\nMerkint\u00e4<\/th>\nSuhde<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Kosekantti<\/td>\n\\(\\csc \\alpha \\)<\/td>\n\\(\\frac{c}{a}\\)<\/td>\n<\/tr>\n
Sekantti<\/td>\n\\(\\sec \\alpha \\)<\/td>\n\\(\\frac{c}{b}\\)<\/td>\n<\/tr>\n
Kotangentti<\/td>\n\\(\\cot \\alpha \\)<\/td>\n\\(\\frac{b}{a}\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Yksikk\u00f6ympyr\u00e4esitys<\/h3>\n

Apuna trigonometristen funktioiden m\u00e4\u00e4rittelyss\u00e4 voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4\u00e4, eli sellaista origokeskist\u00e4 ympyr\u00e4\u00e4, jonka s\u00e4de on yksi. Piirret\u00e4\u00e4n puolisuora, joka l\u00e4htee origosta ja joka muodostaa kulman \\(\\alpha\\) positiivisen \\(x\\)-akselin kanssa. Suora leikkaa yksikk\u00f6ympyr\u00e4n pisteess\u00e4 \\((b,a)\\). Sovitaan, ett\u00e4 vastap\u00e4iv\u00e4\u00e4n kierrett\u00e4ess\u00e4 kulma on positiivinen ja my\u00f6t\u00e4p\u00e4iv\u00e4\u00e4n negatiivinen.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Kuvan yksikk\u00f6ympyr\u00e4n sis\u00e4lle on piirretty suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on yksi ja jonka toinen kateetti sijaitsee \\(x\\)-akselilla. Toinen kateetti on puolestaan kohtisuorassa \\(x\\)-akselia vastaan. T\u00e4ll\u00f6in \\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{1}=a \\quad \\text{ja} \\quad \\cos\\alpha=\\frac{b}{1}=b.\\] Nyt yksikk\u00f6ympyr\u00e4n keh\u00e4piste voidaan kirjoittaa muodossa \\((b,a)=(\\cos\\alpha,\\sin\\alpha)\\). Itseasiassa, t\u00e4m\u00e4n esityksen avulla sini ja kosini voidaan m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 mille hyv\u00e4ns\u00e4 kulmalle \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\), kun taas sivun yl\u00e4laidassa ollut suorakulmaisen kolmion avulla tehty m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4 soveltuu vain kulmille \\(\\alpha\\in (0,\\frac{\\pi}{2})\\). N\u00e4in laajennetut trigonometriset funktiot ovat selv\u00e4sti jaksollisia: \\[\\sin\\alpha=\\sin(\\alpha+2\\pi), \\quad \\cos\\alpha=\\cos(\\alpha+2\\pi), \\quad \\tan\\alpha=\\tan(\\alpha+\\pi), \\quad \\alpha\\in\\mathbb{R}.\\]<\/p>\n

Huomaa, ett\u00e4 tangentti \\(\\tan\\alpha= \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) on m\u00e4\u00e4ritelty vain silloin, kun kosini on nollasta poikkeava. Nyt \\[\\cos\\alpha = 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\alpha=\\frac{\\pi}{2} + n\\cdot \\pi, \\quad n\\in\\mathbb{Z},\\] mik\u00e4 vastaa yksikk\u00f6ympyr\u00e4esityksess\u00e4 niit\u00e4 tapauksia, jossa yksikk\u00f6ympyr\u00e4n keh\u00e4piste on keh\u00e4n ”ylin” tai ”alin” piste. Sinin ja kosinin arvojoukko on selv\u00e4sti \\( [-1,1] \\). Tangentin arvojoukko on koko \\(\\mathbb{R}\\). T\u00e4m\u00e4 v\u00e4ite on triviaali, kun tangentin arvo sijoitetaan yksikk\u00f6ympyr\u00e4-kuvaan.<\/p>\n

Laajennetaan yksikk\u00f6ympyr\u00e4esityksess\u00e4 oleva origosta l\u00e4htev\u00e4 puolisuora origon kautta kulkevaksi suoraksi. Sellaisen pisteen \\(C\\) koordinaatit, jossa origon kautta kulkeva suora leikkaa pystysuoran \\(x=1\\), ovat \\(C=(1,\\tan\\alpha)\\). Osaatko perustella t\u00e4m\u00e4n seikan?<\/p>\n

Tarkastellaan viel\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4esityst\u00e4. Tutun Pythagoraan lauseen mukaan \\[a^2 + b^2 = 1 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\sin^2 \\alpha + \\cos^2\\alpha = 1,\\] joka tunnetaan Pythagoraan lauseena trigonometrisille funktioille. T\u00e4ss\u00e4 \\(\\sin^2\\alpha = (\\sin\\alpha)^2\\) ja kosinia koskeva merkint\u00e4 ymm\u00e4rret\u00e4\u00e4n vastaavasti.<\/p>\n

Yksikk\u00f6ympyr\u00e4esityksest\u00e4 on mahdollista l\u00f6yt\u00e4\u00e4 my\u00f6s seuraavat yhteydet: \\[ \\begin{aligned}\\sin(\\pi – \\alpha) & = \\sin\\alpha, & \\sin(-\\alpha) & =-\\sin(\\alpha),\\\\ \\cos(\\pi – \\alpha) & = -\\cos\\alpha, & \\cos(-\\alpha) & =\\cos(\\alpha). \\end{aligned}\\] N\u00e4iss\u00e4 kaavoissa esiintyvi\u00e4 kulmia on havainnollistettu oheisissa kuvissa.<\/p>\n

\"\"
\n\"\"<\/figure>\n

Muistikolmiot<\/h3>\n

Trigonometristen funktioiden arvojen muistamiseen on olemassa niin sanonut muistikolmiot, jotka ovat esitetty oheisissa kuvissa.<\/p>\n

\"\"\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\"\"<\/figure>\n

Taulukkoon on koottu yksikk\u00f6ympyr\u00e4st\u00e4 ja muistikolmioista saatavia tietoja.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
Funktio \\\\ kulma \\(\\alpha\\)<\/th>\n\\(0\\)<\/th>\n\\(\\frac{\\pi}{6}\\)<\/th>\n\\(\\frac{\\pi}{4}\\)<\/th>\n\\(\\frac{\\pi}{3}\\)<\/th>\n\\(\\frac{\\pi}{2}\\)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
\\(\\sin\\alpha\\)<\/td>\n\\(0\\)<\/td>\n\\(\\frac{1}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)<\/td>\n\\(1\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\cos\\alpha\\)<\/td>\n\\(1\\)<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)<\/td>\n\\(\\frac{1}{2}\\)<\/td>\n\\(0\\)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Sini- ja kosinilause<\/h3>\n

Sini\u00e4 ja kosinia voidaan soveltaa my\u00f6s sellaisissa tilanteissa, joissa kolmio ei ole suorakulmainen.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Sinilauseen mukaan \\[\\frac{\\sin\\alpha}{a} = \\frac{\\sin\\beta}{b} = \\frac{\\sin\\gamma}{c},\\] jonka avulla voidaan m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 kolmion sivun pituus tai kulman suuruus silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin ”vastakkainen sivu – vastakkainen kulma” -pareista.<\/p>\n

Kosinilauseen perusteella \\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \\cos\\alpha\\), mik\u00e4 on Pythagoraan lauseen laajennus ei-suorakulmaisille kolmioille.<\/p>\n

Hy\u00f6dyllisi\u00e4 kaavoja<\/h3>\n

Trigonometrisille funktioille on valtava m\u00e4\u00e4r\u00e4 erilaisia kaavoja. Esimerkiksi summakaavat \\[ \\begin{aligned} \\sin(\\alpha \\pm \\beta) & = \\sin\\alpha \\cos\\beta\\pm \\cos\\alpha\\sin\\beta,\\\\ \\cos(\\alpha \\pm \\beta) & = \\cos\\alpha \\cos\\beta\\mp \\sin\\alpha\\sin\\beta,\\\\ \\tan(\\alpha\\pm\\beta) & = \\frac{\\tan\\alpha \\pm \\tan\\beta}{1\\mp \\tan\\alpha \\tan\\beta},\\end{aligned}\\] potenssikaavat \\[ \\sin^2 \\alpha = \\frac{1}{2} \\big( 1 – \\cos(2\\alpha) \\big), \\quad \\cos^2\\alpha = \\frac{1}{2} \\big( 1 + \\cos(2\\alpha) \\big),\\] ja kaksinkertaisten kulmien kaavat \\[ \\begin{aligned} \\sin(2\\alpha) & = 2\\sin\\alpha \\cos\\alpha,\\\\ \\cos(2\\alpha) & = 2\\cos^2\\alpha -1,\\\\ \\tan(2\\alpha) & = \\frac{2\\tan\\alpha}{1-\\tan^2\\alpha}.\\end{aligned}\\]<\/p>\n

Huom! Summakaavat redusoituvat kaksinkertaisen kulman kaavoiksi valinnalla \\(\\beta=\\alpha\\). Kokeile vaikka itse!<\/p>\n

\n

Tekij\u00e4t: Ella Pirhonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sanan trigonometria merkityksen voi l\u00f6yt\u00e4\u00e4 antiikan kreikan kielest\u00e4, jossa sana trigonos merkitsi kolmekulmaista ja m\u00e9tron mittaamista. Muun muassa n\u00e4ist\u00e4 asioista trigonometriassa on kyse. Trigonometrian avulla voidaan ratkaista kolmion kulmiin ja sivujen pituuksiin liittyvi\u00e4 ongelmia, mill\u00e4 oli aikoinaan hyvin suuri merkitys erityisesti t\u00e4htitieteess\u00e4. Nykyisin trigonometrian sovelluksia tarvitaan my\u00f6s esimerkiksi arkkitehtuurissa, aaltoliikkeen mallinnuksessa ja s\u00e4hk\u00f6opissa. Tarkastellaan suorakulmaista […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-1725","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nTrigonometria - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Trigonometria - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Sanan trigonometria merkityksen voi l\u00f6yt\u00e4\u00e4 antiikan kreikan kielest\u00e4, jossa sana trigonos merkitsi kolmekulmaista ja m\u00e9tron mittaamista. Muun muassa n\u00e4ist\u00e4 asioista trigonometriassa on kyse. Trigonometrian avulla voidaan ratkaista kolmion kulmiin ja sivujen pituuksiin liittyvi\u00e4 ongelmia, mill\u00e4 oli aikoinaan hyvin suuri merkitys erityisesti t\u00e4htitieteess\u00e4. Nykyisin trigonometrian sovelluksia tarvitaan my\u00f6s esimerkiksi arkkitehtuurissa, aaltoliikkeen mallinnuksessa ja s\u00e4hk\u00f6opissa. Tarkastellaan suorakulmaista […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:26:14+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"6 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/\",\"name\":\"Trigonometria - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Trig1-6.svg\",\"datePublished\":\"2020-10-28T17:27:43+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:26:14+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Trig1-6.svg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Trig1-6.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/trigonometria\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Trigonometria\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Trigonometria - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Trigonometria - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Sanan trigonometria merkityksen voi l\u00f6yt\u00e4\u00e4 antiikan kreikan kielest\u00e4, jossa sana trigonos merkitsi kolmekulmaista ja m\u00e9tron mittaamista. Muun muassa n\u00e4ist\u00e4 asioista trigonometriassa on kyse. Trigonometrian avulla voidaan ratkaista kolmion kulmiin ja sivujen pituuksiin liittyvi\u00e4 ongelmia, mill\u00e4 oli aikoinaan hyvin suuri merkitys erityisesti t\u00e4htitieteess\u00e4. Nykyisin trigonometrian sovelluksia tarvitaan my\u00f6s esimerkiksi arkkitehtuurissa, aaltoliikkeen mallinnuksessa ja s\u00e4hk\u00f6opissa. Tarkastellaan suorakulmaista […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:26:14+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"6 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/","name":"Trigonometria - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Trig1-6.svg","datePublished":"2020-10-28T17:27:43+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:26:14+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Trig1-6.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Trig1-6.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/trigonometria\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Trigonometria"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1725","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1725"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1725\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5313,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1725\/revisions\/5313"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1725"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}