{"id":2165,"date":"2020-10-30T15:26:12","date_gmt":"2020-10-30T13:26:12","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=2165"},"modified":"2026-02-05T11:37:56","modified_gmt":"2026-02-05T09:37:56","slug":"konstruktiot","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/","title":{"rendered":"Geometriset konstruktiot"},"content":{"rendered":"
\n

Tarkastelemme erilaisten geometristen objektien konstruoimista vain harppia ja viivainta apuna k\u00e4ytt\u00e4en. Konstruktioissa harppi ja viivain ovat idealisoituja ty\u00f6kaluja, joiden k\u00e4ytt\u00e4minen t\u00e4ytt\u00e4\u00e4 Eukleideen ensimm\u00e4isen kolmen aksiooman (ristiriidaton perusoletus, jonka paikkansapit\u00e4vyys on ilmeist\u00e4) vaatimukset. Eukleideen kolme ensimm\u00e4ist\u00e4 aksioomaa:<\/p>\n\n\n\n\n<\/colgroup>\n\n\n\n\n\n
(i)<\/td>\n<\/td>\nMink\u00e4 tahansa kahden pisteen v\u00e4liin voidaan piirt\u00e4\u00e4 jana.<\/td>\n<\/tr>\n
(ii)<\/td>\n<\/td>\nMik\u00e4 tahansa jana voidaan jatkaa \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4ksi suoraksi.<\/td>\n<\/tr>\n
(iii)<\/td>\n<\/td>\nMille tahansa janalle voidaan piirt\u00e4\u00e4 ympyr\u00e4 siten, ett\u00e4 jana on ympyr\u00e4n s\u00e4de ja janan toinen p\u00e4\u00e4tepiste on ympyr\u00e4n keskipiste.<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Viivaimen, kyn\u00e4n ja harpin avulla voit itsekin tehd\u00e4 kotona seuraavat konstruktiot!<\/p>\n

Janan AB puolittaminen kahteen yht\u00e4 pitk\u00e4\u00e4n osaan<\/b><\/p>\n

Jana voidaan puolittaa helposti piirt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 sen p\u00e4\u00e4tepisteisiin ympyr\u00e4t, jotka leikkaavat toisensa kahdessa pisteess\u00e4 ja joilla on sama s\u00e4de. T\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen piirret\u00e4\u00e4n suora n\u00e4iden leikkauspisteiden v\u00e4lille. T\u00e4m\u00e4 piirretty suora puolittaa janan.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Suoran normaali<\/b><\/p>\n

Kun jana puolitetaan yll\u00e4 mainitulla konstruktiolla, niin muodostamme janalle \\(AB\\) normaalin \\(OC\\). T\u00e4ll\u00f6in suorien \\(OC\\) ja \\(AB\\) v\u00e4linen kulma on \\(90\\) astetta tai \\(\\frac{\\pi}{2}\\) radiaaneissa ilmaistuna. T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa normaalia kutsutaan keskinormaaliksi, sill\u00e4 se on kohtisuorassa janaa \\(AB\\) vastaan, mutta my\u00f6s sen keskell\u00e4.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Yhdensuuntainen suora<\/b><\/p>\n

Tarkastellaan annettua suoraa. Alkuper\u00e4iselle suoralle yhdensuuntainen suora, eli suora joka ei koskaan leikkaa alkuper\u00e4isest\u00e4 suoraa, saadaan piirt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 ympyr\u00e4, jonka keskipiste on alkuper\u00e4isell\u00e4 suoralla. Ympyr\u00e4n ja suoran kumpaankin leikkauspisteeseen piirret\u00e4\u00e4n viel\u00e4 ympyr\u00e4t, jotka leikkaavat ensiksi piirretyn ympyr\u00e4n kanssa. N\u00e4iden ympyr\u00f6iden leikkauspisteiden avulla saamme yhdensuuntaisen suoran konstruoitua. Ensimm\u00e4isen ympyr\u00e4n ei tarvitse olla saman s\u00e4teinen, kuin muut ympyr\u00e4t, mutta kahden j\u00e4lkimm\u00e4iseksi piirretyn ympyr\u00e4n pit\u00e4\u00e4 olla kesken\u00e4\u00e4n samas\u00e4teisi\u00e4.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Kulman puolittaminen<\/b><\/p>\n

Kulma saadaan puolitettua piirt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 ympyr\u00e4n kaari kulman k\u00e4rkipisteest\u00e4 siten, ett\u00e4 se leikkaa kulman kummankin sivun. Kummastakin n\u00e4ist\u00e4 \u00e4sken saaduista pisteist\u00e4 piirret\u00e4\u00e4n ympyr\u00e4n kaari kulman keskelle. N\u00e4iden kahden kaaren leikkauspisteest\u00e4 saadaan kulman puolittaja, kun leikkauspisteest\u00e4 piirret\u00e4\u00e4n suora kulman k\u00e4rkeen.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Aritmeettiset operaatiot \\(x+y\\) ja \\(x-y\\)<\/b><\/p>\n

Ympyr\u00e4n ja suoran avulla voidaan my\u00f6s laskea yhteen- ja v\u00e4hennyslaskuja. Valitaan suoralta origo. Origon ja pisteen \\(y\\) v\u00e4linen et\u00e4isyys otetaan ympyr\u00e4n s\u00e4teeksi ja piirret\u00e4\u00e4n ympyr\u00e4 keskipisteen\u00e4 \\(x\\). Ympyr\u00e4n ja suoran leikkauspisteist\u00e4 saadaan \\(x-y\\) ja \\(x+y\\).<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Tulo \\(x\\cdot y\\) ja osam\u00e4\u00e4r\u00e4 \\(\\frac{y}{x}\\)<\/b><\/p>\n

Oletetaan, ett\u00e4 \\(x\\) ja \\(y\\) ovat positiivisia reaalilukuja. Keksitk\u00f6 miten suoritetaan geometrinen kertolasku \\(x\\cdot y\\) ja geometrinen jakolasku \\(\\frac{y}{x}\\)?<\/p>\n

Vinkki: Geometrinen kertolasku ja jakolasku voidaan perustella suorakulmaisen kolmion geometrialla. Tarkastele kuvassa olevia suorakulmaisia kolmioita, joiden hypotenuusat ovat vaaka-akselilla ja joilla on yksi keltainen ja yksi musta kateetti.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Suoran kulman jakaminen kolmeen yht\u00e4 suureen kulmaan<\/b><\/p>\n

Saamme jaettua suoran kulman kolmeen yht\u00e4 suureen kulmaan piirt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 ympyr\u00e4n, jonka keskipiste on suoran kulman k\u00e4rki. T\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen suoran kulman sivujen ja ympyr\u00e4n leikkauspisteist\u00e4 piirret\u00e4\u00e4n kulman keskelle ympyr\u00e4n kaaret. Ympyr\u00e4n kaarien ja ensiksi piirretyn ympyr\u00e4n leikkauspisteist\u00e4 saadaan kulman jakajat. Kaikkien kolmen ympyr\u00e4n osien s\u00e4de t\u00e4ytyy olla sama, mutta s\u00e4teen voi valita itse. N\u00e4in saamme kolme kulmaa, jotka jokainen ovat 30 astetta.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Tasakylkinen kolmio<\/b><\/p>\n

Piirret\u00e4\u00e4n suoralle piste ja t\u00e4h\u00e4n pisteeseen ympyr\u00e4. Ympyr\u00e4n ja suoran toiseen leikkauspisteeseen piirret\u00e4\u00e4n toinen samalla s\u00e4teell\u00e4 oleva ympyr\u00e4. N\u00e4iden ympyr\u00f6iden leikkauspisteisiin piirret\u00e4\u00e4n jana. Yhdistet\u00e4\u00e4n viel\u00e4 \u00e4sken muodostetun janan p\u00e4\u00e4t ympyr\u00e4n ja suoran toisen leikkauspisteen kanssa ja saamme ympyr\u00e4n sis\u00e4lle konstruoitua tasakylkisen kolmion.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Neli\u00f6<\/b><\/p>\n

Tehd\u00e4\u00e4n suora, jolle konstruoidaan normaali aiemmin opitulla tavalla. Piirret\u00e4\u00e4n suoran ja sen normaalin leikkauspisteeseen ympyr\u00e4. Suoran ja normaalin ympyr\u00e4\u00e4 leikkaavat pisteet yhdistet\u00e4\u00e4n janoilla ja saamme neli\u00f6n konstruoitua.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Kuusikulmio eli hexagoni<\/b><\/p>\n

Kuusikulmion konstruointi alkaa ympyr\u00e4n piirt\u00e4misest\u00e4. Valitaan ympyr\u00e4n keh\u00e4lt\u00e4 satunnainen piste ja piirret\u00e4\u00e4n samas\u00e4teinen ympyr\u00e4 valittuun pisteeseen. Siirryt\u00e4\u00e4n piirt\u00e4m\u00e4\u00e4n uusi ympyr\u00e4 \u00e4sken muodostuneeseen leikkauspisteeseen. Toistetaan t\u00e4t\u00e4 niin kauan, ett\u00e4 palataan alkupisteeseen. T\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen yhdistet\u00e4\u00e4n ympyr\u00f6iden leikkauspisteet ja kuusikulmio on valmis.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Viisikulmio eli pentagoni<\/b><\/p>\n

My\u00f6s viisikulmion voi konstruoida pelk\u00e4ll\u00e4 harpilla ja viivaimella. Seuraa ohjeita ja alla olevaa kuvaa.<\/p>\n

    \n
  1. Piirret\u00e4\u00e4n suora.<\/li>\n
  2. Sijoitetaan suoralle pisteet \\(P_1\\) ja \\(P_2\\). N\u00e4iden pisteiden v\u00e4linen et\u00e4isyys m\u00e4\u00e4r\u00e4\u00e4 viisikulmion koon.<\/li>\n
  3. Aiemmin opitulla tavalla konstruoidaan pisteiden \\(P_1\\) ja \\(P_2\\) kautta kulkevalle suoralle keskinormaali. T\u00e4st\u00e4 saadaan piste \\(M\\).<\/li>\n
  4. Konstruoidaan pisteeseen \\(P_2\\) normaali kohdassa yksi piirretylle suoralle (toisin sanoen yhdensuuntainen suora kohdan 3 keskinormaalille).<\/li>\n
  5. Tehd\u00e4\u00e4n pisteeseen \\(P_2\\) ympyr\u00e4, jonka s\u00e4de on pisteiden \\(P_1\\) ja \\(P_2\\) v\u00e4linen et\u00e4isyys. Nimet\u00e4\u00e4n kohdan nelj\u00e4 normaalin ja \u00e4sken piirretyn ympyr\u00e4n leikkauspiste pisteeksi \\(P\\), kuten oheisessa kuvassa.<\/li>\n
  6. Piirret\u00e4\u00e4n pisteeseen \\(M\\) ympyr\u00e4, jonka s\u00e4de on pisteiden \\(M\\) ja \\(P\\) v\u00e4linen et\u00e4isyys. Nimet\u00e4\u00e4n t\u00e4m\u00e4n ympyr\u00e4n ja kohdan yksi suoran leikkauspiste pisteeksi \\(Q\\), kuten oheisessa kuvassa.<\/li>\n
  7. Tehd\u00e4\u00e4n kaksi ympyr\u00e4\u00e4, joiden molempien s\u00e4de on pisteiden \\(P_1\\) ja \\(Q\\) v\u00e4linen et\u00e4isyys ja joiden keskipisteet ovat \\(P_1\\) ja \\(P_2\\).<\/li>\n
  8. Tehd\u00e4\u00e4n ympyr\u00e4 pisteeseen \\(P_1\\), jonka s\u00e4de on pisteiden \\(P_1\\) ja \\(P_2\\) v\u00e4linen et\u00e4isyys.<\/li>\n
  9. Nimet\u00e4\u00e4n kohdassa seitsem\u00e4n tehtyjen ympyr\u00f6iden ja kohdan kolme keskinormaalin leikkauspiste pisteeksi \\(P_3\\).<\/li>\n
  10. Nimet\u00e4\u00e4n kohdassa seitsem\u00e4n ja kahdeksan tehtyjen ympyr\u00f6iden leikkauspiste pisteeksi \\(P_4\\).<\/li>\n
  11. Nimet\u00e4\u00e4n kohdassa viisi ja seitsem\u00e4n tehtyjen ympyr\u00f6iden leikkauspiste pisteeksi \\(P_5\\).<\/li>\n
  12. Yhdistet\u00e4\u00e4n pisteet \\(P_1, P_2, P_3, P_4, P_5\\) janoilla.<\/li>\n<\/ol>\n
    \"\"<\/figure>\n
    \n

    Tekij\u00e4t: Mikko Juvonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Tarkastelemme erilaisten geometristen objektien konstruoimista vain harppia ja viivainta apuna k\u00e4ytt\u00e4en. Konstruktioissa harppi ja viivain ovat idealisoituja ty\u00f6kaluja, joiden k\u00e4ytt\u00e4minen t\u00e4ytt\u00e4\u00e4 Eukleideen ensimm\u00e4isen kolmen aksiooman (ristiriidaton perusoletus, jonka paikkansapit\u00e4vyys on ilmeist\u00e4) vaatimukset. Eukleideen kolme ensimm\u00e4ist\u00e4 aksioomaa: (i) Mink\u00e4 tahansa kahden pisteen v\u00e4liin voidaan piirt\u00e4\u00e4 jana. (ii) Mik\u00e4 tahansa jana voidaan jatkaa \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4ksi suoraksi. (iii) Mille […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-2165","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nGeometriset konstruktiot - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Geometriset konstruktiot - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tarkastelemme erilaisten geometristen objektien konstruoimista vain harppia ja viivainta apuna k\u00e4ytt\u00e4en. Konstruktioissa harppi ja viivain ovat idealisoituja ty\u00f6kaluja, joiden k\u00e4ytt\u00e4minen t\u00e4ytt\u00e4\u00e4 Eukleideen ensimm\u00e4isen kolmen aksiooman (ristiriidaton perusoletus, jonka paikkansapit\u00e4vyys on ilmeist\u00e4) vaatimukset. Eukleideen kolme ensimm\u00e4ist\u00e4 aksioomaa: (i) Mink\u00e4 tahansa kahden pisteen v\u00e4liin voidaan piirt\u00e4\u00e4 jana. (ii) Mik\u00e4 tahansa jana voidaan jatkaa \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4ksi suoraksi. (iii) Mille […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:37:56+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"7 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/\",\"name\":\"Geometriset konstruktiot - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Konstruktio1_mahtavaaMatikkaa-2.svg\",\"datePublished\":\"2020-10-30T13:26:12+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:37:56+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Konstruktio1_mahtavaaMatikkaa-2.svg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Konstruktio1_mahtavaaMatikkaa-2.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/konstruktiot\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Geometriset konstruktiot\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Geometriset konstruktiot - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Geometriset konstruktiot - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Tarkastelemme erilaisten geometristen objektien konstruoimista vain harppia ja viivainta apuna k\u00e4ytt\u00e4en. Konstruktioissa harppi ja viivain ovat idealisoituja ty\u00f6kaluja, joiden k\u00e4ytt\u00e4minen t\u00e4ytt\u00e4\u00e4 Eukleideen ensimm\u00e4isen kolmen aksiooman (ristiriidaton perusoletus, jonka paikkansapit\u00e4vyys on ilmeist\u00e4) vaatimukset. Eukleideen kolme ensimm\u00e4ist\u00e4 aksioomaa: (i) Mink\u00e4 tahansa kahden pisteen v\u00e4liin voidaan piirt\u00e4\u00e4 jana. (ii) Mik\u00e4 tahansa jana voidaan jatkaa \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4ksi suoraksi. (iii) Mille […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:37:56+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"7 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/","name":"Geometriset konstruktiot - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Konstruktio1_mahtavaaMatikkaa-2.svg","datePublished":"2020-10-30T13:26:12+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:37:56+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Konstruktio1_mahtavaaMatikkaa-2.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Konstruktio1_mahtavaaMatikkaa-2.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/konstruktiot\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Geometriset konstruktiot"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2165","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2165"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2165\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5322,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2165\/revisions\/5322"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2165"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}