{"id":2501,"date":"2020-10-30T17:24:24","date_gmt":"2020-10-30T15:24:24","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=2501"},"modified":"2026-02-05T11:36:26","modified_gmt":"2026-02-05T09:36:26","slug":"funktioiden-kuvaajat","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/","title":{"rendered":"Funktioiden kuvaajat"},"content":{"rendered":"
\n

Funktion kuvaajat havainnollistavat funktion k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4. Kuvaajat ovat matemaatikoille t\u00e4rkeit\u00e4 ty\u00f6kaluja!<\/p>\n

Trigonometriset funktiot ja niiden k\u00e4\u00e4nteisfunktiot<\/h3>\n

Trigonometriset funktiot m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n yleens\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan my\u00f6s m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 k\u00e4ytt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4\u00e4. Molemmat l\u00e4hestymistavat on esitelty tarkemmin Trigonometria<\/a>-alisivulla.<\/p>\n

Nyt voimme laskea esimerkiksi kosinin arvoja tietyill\u00e4 kulmilla ja sijoittaa n\u00e4m\u00e4 arvot \\(xy\\)-koordinaatiston pisteiksi. Kun pisteit\u00e4 lasketaan \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n tihein v\u00e4lein ne muodostavat kuvaajan. Sinin ja kosinin arvot vaihtelevat v\u00e4lill\u00e4 \\([-1,1]\\). Ne ovat my\u00f6s jaksollisia funktiota, joka tarkoittaa, ett\u00e4 niiden arvot ovat aina samat tietyn jakson v\u00e4lein. N\u00e4ille funktioille jakso on \\(2\\pi\\) (radiaanein ilmaistuna). Sinill\u00e4 ja kosinilla ei ole k\u00e4\u00e4nteisfunktiota, jos m\u00e4\u00e4rittelyjoukkona pidet\u00e4\u00e4n koko reaalilukujoukkoa.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Alla olevaan kuvaan on piirretty sinin rajoittuman \\( \\sin : (-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2}) \\to (-1,1)\\) ja kosinin rajoittuman \\( \\cos : (0,\\pi) \\to (-1,1)\\) k\u00e4\u00e4nteisfunktiot, eli arkussini \\( \\arcsin : (-1,1) \\to (-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2})\\) ja arkuskosini \\( \\arccos : (-1,1) \\to (0,\\pi)\\).<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Alla olevaan kuvaan on piirretty funktio \\( \\tan : (-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2}) \\to \\mathbb{R}\\), eli tangentin rajoittuma avoimelle v\u00e4lille \\((-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2})\\).<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Vaikka tangenttifunktiolla ei yleisesti ottaen olekaan k\u00e4\u00e4nteisfunktiota, t\u00e4ll\u00e4 tangenttifunktion rajoittumalla on k\u00e4\u00e4nteisfunktio \\(\\arctan: \\mathbb{R} \\to (-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2}) \\). T\u00e4t\u00e4 funktiota kutsutaan arkustangentiksi.<\/p>\n

Arkustangentin \\(\\arctan: \\mathbb{R} \\to (-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2}) \\) kuvaajalla on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia. Arkussinist\u00e4 ja arkuskosinista poiketen arkustangentti on m\u00e4\u00e4ritelty kaikilla reaaliluvuilla. Vaikka arkustangentti on aidosti kasvava funktio, se on silti rajoitettu! Vaakasuorat \\(y=\\pm\\frac{\\pi}{2}\\) ovat vaaka-asymptootteja.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Eksponentti- ja logaritmifunktio<\/h3>\n

Luonnollinen eksponenttifunktio \\(e^x: \\mathbb{R} \\to (0,\\infty)\\) ja luonnollinen logaritmifunktio \\(\\ln x : (0,\\infty) \\to \\mathbb{R}\\) ovat toistensa k\u00e4\u00e4nteisfunktiota. T\u00e4m\u00e4 ominaisuus on my\u00f6s n\u00e4ht\u00e4viss\u00e4 kuvasta – n\u00e4m\u00e4 funktiot ovat symmetrisi\u00e4 (kuvassa katkoviivaisen) suoran \\(y=x\\) suhteen!<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Potenssifunktio<\/h3>\n

Oheiseen kuvaan on hahmoteltu funktion \\(\\, f:[0,1]\\to [0,1]\\), \\[f(x)=x^p,\\] kuvaajia parametrin \\(p>0\\) eri arvoilla. Kuvan perusteella parametrej\u00e4 \\(p\\) ja \\(\\frac{1}{p}\\) vastaavat kuvaajat ovat symmetrisi\u00e4 suoran \\(y=x\\) suhteen. Kyse on funktiosta ja sen k\u00e4\u00e4nteisfunktiosta!<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Riippumatta parametrin \\(p\\) arvosta, jokainen kuvaaja kulkee sek\u00e4 origon \\((0,0)\\) ett\u00e4 tasopisteen \\((1,1)\\) kautta. Parametrin \\(p\\) arvolla on kuitenkin suuri merkitys siihen, miten \\(f(x)=x^p\\) k\u00e4ytt\u00e4ytyy.<\/p>\n

Monotonisuus ja kuperuus<\/h3>\n

Jos derivoituvan funktion ensimm\u00e4isen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on funktio silloin kasvava. Kuvassa sininen ja musta kuvaaja ovat t\u00e4llaisia. Mik\u00e4li derivaatta on negatiivinen, on funktio silloin v\u00e4henev\u00e4. Kuvassa punainen ja harmaa kuvaaja v\u00e4henevi\u00e4.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Jos kaksi kertaa derivoituvan funktion toisen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on kyseess\u00e4 konveksi funktio, kuten harmaa ja musta kuvaaja. Jos funktion toisen kertaluvun derivaatta on negatiivinen, on kyseess\u00e4 konkaavi funktio, kuten sininen ja punainen kuvaaja.<\/p>\n

Skaalaus<\/h3>\n

Olkoon \\(f: [a,b] \\to \\mathbb{R}\\) funktio. T\u00e4m\u00e4n funktion m\u00e4\u00e4rittelyjoukko on suljettu v\u00e4li \\([a,b]\\). Jos informaatio halutaan siirt\u00e4\u00e4 v\u00e4lille \\([c,d]\\), voidaan skaalaukseen k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 apufunktiota \\[ \\varphi(x) = a + (x-c) \\, \\frac{b-a}{d-c}, \\quad c\\leq x \\leq d.\\] Nyt \\(\\varphi: [c,d] \\to [a,b]\\) muodostaa yksi-yhteen vastaavuuden joukolta \\([c,d]\\) joukolle \\([a,b]\\). Erityisesti \\(\\varphi(c)=a\\) ja \\(\\varphi(d) = b\\). T\u00e4ll\u00f6in voidaan m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 funktio \\(f \\circ \\varphi : [c,d] \\to \\mathbb{R}\\), miss\u00e4 \\[(f\\circ \\varphi)(x) = f\\big(\\varphi(x)\\big) = f\\left( a + (x-c) \\, \\frac{b-a}{d-c}\\right), \\quad c\\leq x \\leq d.\\]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Tarkastellaan lopuksi konkreettista esimerkki\u00e4. Jos \\( f: [0,15] \\to \\mathbb{R}\\) on yll\u00e4 olevassa kuvassa oleva vihre\u00e4 funktio \\(f(x)=\\sin x\\), niin muunnoksella \\(\\varphi: [5,10] \\to [0,15]\\), \\(\\varphi(x)=3(x-5)\\), saadaan punainen funktio \\( f\\circ \\varphi : [5,10] \\to \\mathbb{R}\\), joka voidaan esitt\u00e4\u00e4 kaavalla \\((f\\circ \\varphi)(x)=\\sin(3(x-5))\\).<\/p>\n

\n

Tekij\u00e4t: Mikko Juvonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n\n\n

<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Funktion kuvaajat havainnollistavat funktion k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4. Kuvaajat ovat matemaatikoille t\u00e4rkeit\u00e4 ty\u00f6kaluja! Trigonometriset funktiot ja niiden k\u00e4\u00e4nteisfunktiot Trigonometriset funktiot m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n yleens\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan my\u00f6s m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 k\u00e4ytt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4\u00e4. Molemmat l\u00e4hestymistavat on esitelty tarkemmin Trigonometria-alisivulla. Nyt voimme laskea esimerkiksi kosinin arvoja tietyill\u00e4 kulmilla ja sijoittaa n\u00e4m\u00e4 arvot \\(xy\\)-koordinaatiston pisteiksi. Kun pisteit\u00e4 lasketaan \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n tihein […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-2501","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nFunktioiden kuvaajat - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Funktioiden kuvaajat - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Funktion kuvaajat havainnollistavat funktion k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4. Kuvaajat ovat matemaatikoille t\u00e4rkeit\u00e4 ty\u00f6kaluja! Trigonometriset funktiot ja niiden k\u00e4\u00e4nteisfunktiot Trigonometriset funktiot m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n yleens\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan my\u00f6s m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 k\u00e4ytt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4\u00e4. Molemmat l\u00e4hestymistavat on esitelty tarkemmin Trigonometria-alisivulla. Nyt voimme laskea esimerkiksi kosinin arvoja tietyill\u00e4 kulmilla ja sijoittaa n\u00e4m\u00e4 arvot (xy)-koordinaatiston pisteiksi. Kun pisteit\u00e4 lasketaan \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n tihein […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:36:26+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"5 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/\",\"name\":\"Funktioiden kuvaajat - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Funktiot1_mahtavaaMatikkaa-2.svg\",\"datePublished\":\"2020-10-30T15:24:24+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:36:26+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Funktiot1_mahtavaaMatikkaa-2.svg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/Funktiot1_mahtavaaMatikkaa-2.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/funktioiden-kuvaajat\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Funktioiden kuvaajat\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Funktioiden kuvaajat - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Funktioiden kuvaajat - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Funktion kuvaajat havainnollistavat funktion k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4. Kuvaajat ovat matemaatikoille t\u00e4rkeit\u00e4 ty\u00f6kaluja! Trigonometriset funktiot ja niiden k\u00e4\u00e4nteisfunktiot Trigonometriset funktiot m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n yleens\u00e4 suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan my\u00f6s m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 k\u00e4ytt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 yksikk\u00f6ympyr\u00e4\u00e4. Molemmat l\u00e4hestymistavat on esitelty tarkemmin Trigonometria-alisivulla. Nyt voimme laskea esimerkiksi kosinin arvoja tietyill\u00e4 kulmilla ja sijoittaa n\u00e4m\u00e4 arvot (xy)-koordinaatiston pisteiksi. Kun pisteit\u00e4 lasketaan \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n tihein […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:36:26+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"5 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/","name":"Funktioiden kuvaajat - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Funktiot1_mahtavaaMatikkaa-2.svg","datePublished":"2020-10-30T15:24:24+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:36:26+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Funktiot1_mahtavaaMatikkaa-2.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Funktiot1_mahtavaaMatikkaa-2.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/funktioiden-kuvaajat\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Funktioiden kuvaajat"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2501","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2501"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2501\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5321,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2501\/revisions\/5321"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2501"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}