{"id":278,"date":"2020-10-07T15:05:23","date_gmt":"2020-10-07T12:05:23","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=278"},"modified":"2026-02-05T11:57:18","modified_gmt":"2026-02-05T09:57:18","slug":"pii","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/","title":{"rendered":"Pii"},"content":{"rendered":"
\n

Tarkastellaan tuttua tasok\u00e4yr\u00e4\u00e4 \u2014 ympyr\u00e4\u00e4. Matemaattinen vakio \\(\\pi\\) (pii) on ympyr\u00e4n keh\u00e4n pituuden \\(C\\) ja ympyr\u00e4n halkaisijan \\(2r\\) suhde:
\n\\[ \\pi = \\frac{C}{2r}. \\] Luku \\(\\pi\\) on transkendenttinen ja sen desimaaliesitys koostuu \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n monesta desimaalista. Jo 2000-vuotta eaa. babylonialaiset ep\u00e4iliv\u00e4t piin olevan joko \\( 3\\) tai \\( 25\/8 =3.125\\) (yksi oikea desimaali). Antiikin Kreikan merkitt\u00e4vimpiin tiedemiehiin kuuluva Arkhimedes osoitti, ett\u00e4
\n\\[ 3 + \\frac{1}{7+\\frac{1}{10}} < \\pi < 3 + \\frac{1}{7},\\] mik\u00e4 paljastaa luvun \\(\\pi\\) kolmen desimaalin tarkkuudella. Arkhimedeen menetelm\u00e4 perustui ympyr\u00e4n sis\u00e4lle ja sen ulkopuolelle piirrettyihin monikulmioihin, jotka mukailevat ympyr\u00e4\u00e4 mahdollisimman tarkasti. Osoitetaan Arkhimedeen menetelm\u00e4\u00e4n perustuen, ett\u00e4 ympyr\u00e4n pinta-alan kaava \\(A = \\pi r^2\\) voidaan perustella geometrisesti.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Piirret\u00e4\u00e4n ympyr\u00e4n sis\u00e4lle s\u00e4\u00e4nn\u00f6llinen \\(n\\)-kulmio, jonka k\u00e4rjet ovat ympyr\u00e4n keh\u00e4ll\u00e4. T\u00e4ss\u00e4 \\(n\\)-kulmiolla tarkoitetaan sellaista monikulmiota, jonka kaikki sivut yht\u00e4 pitki\u00e4 ja kaikki \\(n\\) kulmaa ovat yht\u00e4 suuria. T\u00e4llaisen \\(n\\)-kulmion pinta-alalle \\(A_n\\) on ilmiselv\u00e4sti voimassa \\(A_n < A\\). Itse asiassa, \\(n\\)-kulmion pinta-ala \\(A_n\\) l\u00e4hestyy lukua \\(A\\), kun kulmien lukum\u00e4\u00e4r\u00e4 \\(n\\) kasvaa.<\/p>\n

Pinta-ala \\(A_n\\) koostuu tasakylkisist\u00e4 kolmioista, joiden keskuskulmat ovat suuruudeltaan \\(\\frac{2\\pi}{n}\\) ja joilla on kaksi sivua pituudeltaan \\(r\\). T\u00e4m\u00e4n kolmion pinta-ala voidaan kirjoittaa muodossa \\(\\frac{Mh}{2}\\), miss\u00e4 \\(h\\) on kolmion korkeus ja \\(M\\) on sen kanta.<\/p>\n

\"\"\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\"\"<\/figure>\n

Tarkastellaan tasakylkisen kolmion puolikasta, joka on suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on \\(r\\), ja jonka kateettien pituudet ovat \\(\\frac{M}{2}\\) ja \\(h\\). Suorakulmaisen kolmion huippukulma on \\(\\frac{\\pi}{n}\\). T\u00e4ll\u00f6in alkeistrigonometrian mukaan
\n\\[\\sin \\frac{\\pi}{n} = \\frac{M\/2}{r} \\qquad
\n\\text{ja} \\qquad \\cos \\frac{\\pi}{n} = \\frac{h}{r}.\\] N\u00e4ist\u00e4 n\u00e4hd\u00e4\u00e4n ett\u00e4 \\(M = 2r\\sin \\frac{\\pi}{n}\\) ja \\(h = r\\cos\\frac{\\pi}{n}\\). Nyt koko monikulmion pinta-alaksi \\(A_n\\) saadaan
\n\\[A_n = n \\cdot \\frac{Mh}{2} = n r^2 \\sin \\frac{\\pi}{n} \\cos \\frac{\\pi}{n}.\\] Kun \\(n\\) kasvaa rajatta, niin \\(A_n\\) l\u00e4henee lukua \\(\\pi r^2\\). T\u00e4st\u00e4 p\u00e4\u00e4tell\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 ympyr\u00e4n pinta-ala on \\(A = \\pi r^2\\).<\/p>\n

Yll\u00e4 esitetty argumentti perustuu raja-arvoon \\(\\lim_{n\\to\\infty} \\, n \\sin \\frac{\\pi}{n} \\cos \\frac{\\pi}{n} = \\pi\\), mik\u00e4 perustellaan yliopistomatematiikassa L’Hospitalin s\u00e4\u00e4nn\u00f6ll\u00e4.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/figure>\n

Tunnettuja piihin liittyvi\u00e4 tuloksia<\/h2>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
\\(\\displaystyle\\frac{2}{\\pi} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2 + \\sqrt{2}}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2 + \\sqrt{2+ \\sqrt{2}}}}{2} \\dotsb\\)<\/td>\nVi\u00e8ten kaava<\/a>, 1593<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\displaystyle\\frac{\\pi}{2} = \\frac{2\\cdot 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot 6 \\cdot 6 \\dotsb}{ 1\\cdot 1 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 5 \\dotsb}\\)<\/td>\nWallisin kaava<\/a>, 1656<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\displaystyle\\frac{\\pi}{4} = 1 – \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} – \\frac{1}{7} + \\dotsb\\)<\/td>\nLeibnizin sarja<\/a>, 1674<\/td>\n<\/tr>\n
\\(e^{i\\pi}+1=0\\)<\/td>\nEulerin identiteetti<\/a>, maailman kaunein kaava, 1748<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\displaystyle\\tan\\frac{\\pi}{4}=1\\in\\mathbb{Q} \\implies \\text{\\(\\pi\\) irrationaalinen}\\)<\/td>\nLambert, 1768<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\text{\\(\\pi\\) transkendenttinen}\\)<\/td>\nLindemann, 1882<\/td>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<\/table>\n
\n

Tekij\u00e4: Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tarkastellaan tuttua tasok\u00e4yr\u00e4\u00e4 \u2014 ympyr\u00e4\u00e4. Matemaattinen vakio \\(\\pi\\) (pii) on ympyr\u00e4n keh\u00e4n pituuden \\(C\\) ja ympyr\u00e4n halkaisijan \\(2r\\) suhde: \\[ \\pi = \\frac{C}{2r}. \\] Luku \\(\\pi\\) on transkendenttinen ja sen desimaaliesitys koostuu \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n monesta desimaalista. Jo 2000-vuotta eaa. babylonialaiset ep\u00e4iliv\u00e4t piin olevan joko \\( 3\\) tai \\( 25\/8 =3.125\\) (yksi oikea desimaali). Antiikin Kreikan merkitt\u00e4vimpiin […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-278","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nPii - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Pii - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tarkastellaan tuttua tasok\u00e4yr\u00e4\u00e4 \u2014 ympyr\u00e4\u00e4. Matemaattinen vakio (pi) (pii) on ympyr\u00e4n keh\u00e4n pituuden (C) ja ympyr\u00e4n halkaisijan (2r) suhde: [ pi = frac{C}{2r}. ] Luku (pi) on transkendenttinen ja sen desimaaliesitys koostuu \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n monesta desimaalista. Jo 2000-vuotta eaa. babylonialaiset ep\u00e4iliv\u00e4t piin olevan joko ( 3) tai ( 25\/8 =3.125) (yksi oikea desimaali). Antiikin Kreikan merkitt\u00e4vimpiin […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:57:18+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"3 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/\",\"name\":\"Pii - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/kuva-2-1-1.svg\",\"datePublished\":\"2020-10-07T12:05:23+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:57:18+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/kuva-2-1-1.svg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/kuva-2-1-1.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/pii\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Pii\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Pii - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Pii - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Tarkastellaan tuttua tasok\u00e4yr\u00e4\u00e4 \u2014 ympyr\u00e4\u00e4. Matemaattinen vakio (pi) (pii) on ympyr\u00e4n keh\u00e4n pituuden (C) ja ympyr\u00e4n halkaisijan (2r) suhde: [ pi = frac{C}{2r}. ] Luku (pi) on transkendenttinen ja sen desimaaliesitys koostuu \u00e4\u00e4rett\u00f6m\u00e4n monesta desimaalista. Jo 2000-vuotta eaa. babylonialaiset ep\u00e4iliv\u00e4t piin olevan joko ( 3) tai ( 25\/8 =3.125) (yksi oikea desimaali). Antiikin Kreikan merkitt\u00e4vimpiin […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:57:18+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"3 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/","name":"Pii - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/kuva-2-1-1.svg","datePublished":"2020-10-07T12:05:23+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:57:18+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/kuva-2-1-1.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/kuva-2-1-1.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/pii\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Pii"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/278","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=278"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/278\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5334,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/278\/revisions\/5334"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=278"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}