{"id":3176,"date":"2021-10-08T18:06:48","date_gmt":"2021-10-08T15:06:48","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=3176"},"modified":"2026-02-05T11:42:51","modified_gmt":"2026-02-05T09:42:51","slug":"induktio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/","title":{"rendered":"Induktio"},"content":{"rendered":"
\n

Matemaattinen induktio on todistusmenetelm\u00e4, joka on luonteeltaan rekursiivinen. Matemaattisella induktiolla todistaminen perustuu induktioperiaatteeseen, jonka avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja \\(\\mathbb{N} = \\{1,2,3,\\dotsc\\}\\) koskevia v\u00e4itteit\u00e4.<\/p>\n

Olkoon \\(P\\) jokin todistettava v\u00e4ite. Induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta:<\/p>\n

    \n
  1. Perusaskel.<\/em> Osoitetaan esimerkill\u00e4, ett\u00e4 ensimm\u00e4inen tapaus \\(P(1)\\) pit\u00e4\u00e4 paikkansa.<\/li>\n
  2. Induktioaskel.<\/em>\n
      \n
    • Induktio-oletus: Oletetaan, ett\u00e4 v\u00e4ite \\(P(n)\\) on tosi jollakin arvolla \\(n=k\\in\\mathbb{N}\\). Huomaa, ett\u00e4 perusaskeleen nojalla v\u00e4ite on tosi tapauksessa \\(n=1\\), joten induktio-oletus on mielek\u00e4s ainakin t\u00e4ss\u00e4 tapauksessa.<\/li>\n
    • Induktiov\u00e4ite: \\(P(n)\\) on tosi arvolla \\(n=k+1\\).<\/li>\n
    • Todistus: Osoitetaan, ett\u00e4 induktio-oletuksesta ja muista tunnetuista tuloksista seuraa induktiov\u00e4ite.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
    • Johtop\u00e4\u00e4t\u00f6s.<\/em> Koska \\(P(1)\\) on tosi perusaskeleen nojalla, niin induktio-askel arvolla yksi osoittaa, ett\u00e4 \\(P(2)\\) on tosi. T\u00e4ll\u00f6in induktio-askel arvolla kaksi osoittaa, ett\u00e4 \\(P(3)\\) on tosi. Jatkamalla t\u00e4t\u00e4 p\u00e4\u00e4ttely\u00e4 voidaan todeta, ett\u00e4 v\u00e4ite \\(P(n)\\) on tosi kaikilla \\(n\\in\\mathbb{N}\\).<\/li>\n<\/ol>\n

      Alla on pari tyypillist\u00e4 esimerkki\u00e4 induktiotodistuksesta.<\/p>\n

      Esimerkki 1.<\/b> Osoita, ett\u00e4 \\(1+2+\\dotsb+n = \\frac{n(n+1)}{2}\\) kaikilla \\(n\\in\\mathbb{N}\\).<\/p>\n

        \n
      1. Perusaskel.<\/em> Kun \\(n=1\\), niin v\u00e4ite \\(1=\\frac{1\\cdot 2}{2}\\) on triviaalisti totta.<\/li>\n
      2. Induktioaskel.<\/em>\n
          \n
        • Induktio-oletus: Oletetaan, ett\u00e4 v\u00e4ite on tosi jollakin arvolla \\(n=k\\in\\mathbb{N}\\), eli on voimassa \\(1+2+\\dotsb+k = \\frac{k(k+1)}{2}\\).<\/li>\n
        • Induktiov\u00e4ite: \\(1+2+\\dotsb+k + (k+1) = \\frac{(k+1)(k+2)}{2}\\).<\/li>\n
        • Todistus: Soveltamalla induktio-oletusta n\u00e4hd\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 \\[\\begin{aligned} 1+2+\\dotsb+k + (k+1) & = (1+2+\\dotsb + k) + (k+1)\\\\ & = \\frac{k(k+1)}{2} + \\frac{2(k+1)}{2}\\\\ & = \\frac{(k+1)(k+2)}{2}. \\end{aligned}\\]<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
        • Johtop\u00e4\u00e4t\u00f6s.<\/em> Induktioperiaatteen nojalla v\u00e4ite p\u00e4tee kaikilla \\(n\\in\\mathbb{N}\\).<\/li>\n<\/ol>\n

          Esimerkki 2.<\/b> Osoita, ett\u00e4 \\(1^2+2^2+\\dotsb+n^2 = \\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\) kaikilla \\(n\\in\\mathbb{N}\\).<\/p>\n

            \n
          1. Perusaskel.<\/em> Kun \\(n=1\\), niin v\u00e4ite \\(1^2=\\frac{1\\cdot 2\\cdot 3}{6}\\) on triviaalisti totta.<\/li>\n
          2. Induktioaskel.<\/em>\n
              \n
            • Induktio-oletus: Oletetaan, ett\u00e4 v\u00e4ite on tosi jollakin arvolla \\(n=k\\in\\mathbb{N}\\), eli on voimassa \\(1^2+2^2+\\dotsb+k^2 = \\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\\).<\/li>\n
            • Induktiov\u00e4ite: \\(1^2+2^2+\\dotsb+k^2 +(k+1)^2 = \\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\\).<\/li>\n
            • Todistus: Soveltamalla induktio-oletusta n\u00e4hd\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 \\[\\begin{aligned} 1^2+2^2+\\dotsb+k^2 + (k+1)^2 & = (1^2+2^2+\\dotsb + k^2) + (k+1)^2\\\\ & = \\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \\frac{6(k+1)^2}{6}\\\\ & = \\frac{(k+1)\\big((2k^2+k)+(6k+6) \\big)}{6}\\\\ & = \\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}. \\end{aligned}\\]<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
            • Johtop\u00e4\u00e4t\u00f6s.<\/em> Induktioperiaatteen nojalla v\u00e4ite p\u00e4tee kaikilla \\(n\\in\\mathbb{N}\\).<\/li>\n<\/ol>\n
              \n

              Tekij\u00e4t: Mikko Juvonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

              Matemaattinen induktio on todistusmenetelm\u00e4, joka on luonteeltaan rekursiivinen. Matemaattisella induktiolla todistaminen perustuu induktioperiaatteeseen, jonka avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja \\(\\mathbb{N} = \\{1,2,3,\\dotsc\\}\\) koskevia v\u00e4itteit\u00e4. Olkoon \\(P\\) jokin todistettava v\u00e4ite. Induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta: Perusaskel. Osoitetaan esimerkill\u00e4, ett\u00e4 ensimm\u00e4inen tapaus \\(P(1)\\) pit\u00e4\u00e4 paikkansa. Induktioaskel. Induktio-oletus: Oletetaan, ett\u00e4 v\u00e4ite \\(P(n)\\) on tosi jollakin arvolla \\(n=k\\in\\mathbb{N}\\). Huomaa, ett\u00e4 […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-3176","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nInduktio - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Induktio - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Matemaattinen induktio on todistusmenetelm\u00e4, joka on luonteeltaan rekursiivinen. Matemaattisella induktiolla todistaminen perustuu induktioperiaatteeseen, jonka avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja (mathbb{N} = {1,2,3,dotsc}) koskevia v\u00e4itteit\u00e4. Olkoon (P) jokin todistettava v\u00e4ite. Induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta: Perusaskel. Osoitetaan esimerkill\u00e4, ett\u00e4 ensimm\u00e4inen tapaus (P(1)) pit\u00e4\u00e4 paikkansa. Induktioaskel. Induktio-oletus: Oletetaan, ett\u00e4 v\u00e4ite (P(n)) on tosi jollakin arvolla (n=kinmathbb{N}). Huomaa, ett\u00e4 […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:42:51+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"2 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/induktio\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/induktio\\\/\",\"name\":\"Induktio - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"datePublished\":\"2021-10-08T15:06:48+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:42:51+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/induktio\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/induktio\\\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/induktio\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Induktio\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Induktio - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Induktio - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Matemaattinen induktio on todistusmenetelm\u00e4, joka on luonteeltaan rekursiivinen. Matemaattisella induktiolla todistaminen perustuu induktioperiaatteeseen, jonka avulla voidaan todistaa luonnollisia lukuja (mathbb{N} = {1,2,3,dotsc}) koskevia v\u00e4itteit\u00e4. Olkoon (P) jokin todistettava v\u00e4ite. Induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta: Perusaskel. Osoitetaan esimerkill\u00e4, ett\u00e4 ensimm\u00e4inen tapaus (P(1)) pit\u00e4\u00e4 paikkansa. Induktioaskel. Induktio-oletus: Oletetaan, ett\u00e4 v\u00e4ite (P(n)) on tosi jollakin arvolla (n=kinmathbb{N}). Huomaa, ett\u00e4 […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:42:51+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"2 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/","name":"Induktio - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"datePublished":"2021-10-08T15:06:48+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:42:51+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/induktio\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Induktio"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3176","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3176"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3176\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5324,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3176\/revisions\/5324"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3176"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}