{"id":3381,"date":"2021-10-11T13:07:01","date_gmt":"2021-10-11T10:07:01","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?page_id=3381"},"modified":"2026-02-05T11:53:11","modified_gmt":"2026-02-05T09:53:11","slug":"kartta","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/","title":{"rendered":"Kartta"},"content":{"rendered":"<div style=\"max-width: 850px;margin: 0 auto;float: none;font-size: 110%;text-align: justify\">\n<p>Vektoreiden avulla voi suoraviivaisesti ratkaista sellaisia ongelmia, joiden ratkaiseminen muuten olisi kovin monimutkaista.<\/p>\n<p>Er\u00e4s esimerkki on kahden eri puolilla maapalloa olevan kaupungin v\u00e4lisen et\u00e4isyyden laskeminen. Et\u00e4isyys osataan laskea, jos osataan esitt\u00e4\u00e4 kaupungit vektoreina, osataan laskea vektorien v\u00e4linen kulma ja tunnetaan maapallon s\u00e4de. Tutki oheista dynaamista kuviota.<\/p>\n<style>\r\n#JSXBoard, #JSXBoard2 {\r\n               border-style:solid;    border-width:1px;\r\n               width:500px;   height: 500px;\r\n               overflow: hidden; position: relative;\r\n               background-color:#ffffff;\r\n               white-space:nowrap; text-overflow:clip;display:inline-block;\r\n}\r\n#JSXBoard button {\r\n               padding:0px;margin-top:0px;background-color:;\r\n}\r\n.jsxbox {}\r\n<\/style>\r\n<div class='jxgbox' id='JSXBoard2' > <\/div>\r\n<div class='jxgbox' id='JSXBoard' > <\/div>\r\n<script>\r\n               var JSXBoard_a = JXG.JSXGraph.initBoard('JSXBoard2', {\r\n                       boundingbox:[-1,2.4,7,-1.6],\r\n                       originX:4, originY:4,\r\n                       zoomX:1, zoomY:1,\r\n                       keepaspectratio:false, axis:false,\r\n                       showCopyright:false,   showNavigation:true,\r\n                       grid:false});\r\n       \r\n        (function(){\r\n               var JSXBoard_b = JXG.JSXGraph.initBoard('JSXBoard', {\r\n                       boundingbox:[-8,8,8,-8],\r\n                       originX:4, originY:4,\r\n                       zoomX:1, zoomY:1,\r\n                       keepaspectratio:false, axis:false,\r\n                       showCopyright:false,   showNavigation:false,\r\n                       grid:false\r\n        });\r\n\r\nJSXBoard_a.addChild(JSXBoard_b);\r\n\r\nvar west=0;\r\nvar east=2*Math.PI;\r\nvar south=-Math.PI\/2;\r\nvar north=Math.PI\/2;\r\nvar we=east-west;\r\nvar sn=Math.PI;\r\n\r\nvar aurlImg = 'http:\/\/integraali.com\/vektorit-ja-matriisit\/mercator.jpg';\r\nvar aim = JSXBoard_a .create('image',[aurlImg, [west,south], [we,sn]],{fixed:true,Highlight:false});\r\n\r\n        \/* Write your jsxgraph code here *\/\r\n\r\naz=JSXBoard_b .createElement('slider', [[-7,-7],[5,-7],[0,0.54,2*Math.PI]], {style:6, name:'az'});\r\nel=JSXBoard_b .createElement('slider', [[-7,0],[-7,6],[0,0.44,Math.PI\/2]], {style:6, name:'el'});\r\nkierto=JSXBoard_b .create('transform', [function () {return 0.5*Math.PI-az.Value();}], {type: 'rotate'});\r\nmuunnos=JSXBoard_b .create('transform', [1,0,0,0,-1,0,0,0,-1], {type: 'generic'});\r\nskaalaus=JSXBoard_b .create('transform', [1,0,0,0,1,0,0,0,function () {return Math.sin(el.Value());}], {type: 'generic'});\r\n\r\nvar lev=6;\r\nvar akselip=[]; \/\/ apu- ja alkupisteet\r\nakselip[0]=JSXBoard_b .create('point', [-lev,0]);\r\nakselip[1]=JSXBoard_b .create('point', [lev,0]);\r\nakselip[2]=JSXBoard_b .create('point', [0,-lev]);\r\nakselip[3]=JSXBoard_b .create('point', [0,lev]);\r\nakselip[4]=JSXBoard_b .create('point', [akselip[0],[kierto,muunnos,skaalaus]]);\r\nakselip[5]=JSXBoard_b .create('point', [akselip[2],[kierto,muunnos,skaalaus]]);\r\nakselip[6]=JSXBoard_b .create('point', [0,function () {return -Math.cos(el.Value())*lev;}]);\r\nfor (var i=0; i < akselip.length; i++) {akselip[i].setAttribute({visible:false});}\r\n\r\nvar akseliq=[]; \/\/ loppupisteet\r\nakseliq[0]=JSXBoard_b .create('point', [akselip[1],[kierto,muunnos,skaalaus]],{name:'x'});\r\nakseliq[1]=JSXBoard_b .create('point', [akselip[3],[kierto,muunnos,skaalaus]],{name:'y'});\r\nakseliq[2]=JSXBoard_b .create('point', [0,function () {return Math.cos(el.Value())*lev;}], {name:'z'});\r\nfor (var i=0; i < akseliq.length; i++) {akseliq[i].setAttribute({showInfoBox:false, highlight:false, color:'none'});}\r\n\r\nvar akseli=[]; \/\/ akselit\r\nakseli[0]=JSXBoard_b .create('arrow', [akselip[4],akseliq[0]]);\r\nakseli[1]=JSXBoard_b .create('arrow', [akselip[5],akseliq[1]]);\r\nakseli[2]=JSXBoard_b .create('arrow', [akselip[6],akseliq[2]]);\r\nfor (var i=0; i < akseli.length; i++) {akseli[i].setAttribute({highlight:false,strokecolor:'black'});}\r\n\r\nr=4;\r\n\r\nN=10;\r\nvar west=0;\r\nvar east=2*Math.PI;\r\nvar south=-Math.PI\/2;\r\nvar north=Math.PI\/2;\r\nvar we=east-west;\r\nvar sn=Math.PI;\r\n\r\nvar ma=[], mb=[], mc=[], md=[], me=[];\r\nfor (let k=0; k<=N; k++) {\r\nma.push([]);\r\nmb.push([]);\r\nmc.push([]);\r\nmd.push([]);\r\nme.push([]);\r\nfor (let j=0; j<=N; j++) {\r\nma[k].push([]);\r\nmb[k].push([]);\r\nmc[k].push([]);\r\nmd[k].push([]);\r\nme[k].push([]);\r\n\r\nma[k][j]=JSXBoard_b .create('point', [west+2*Math.PI*(k\/N),south+sn*(j\/N)], {name:'a', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\nmb[k][j]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return r*Math.cos(ma[k][j].Y())\r\n*Math.cos(ma[k][j].X());},function () {return r*Math.cos(ma[k][j].Y())*Math.sin(ma[k][j].X());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false,color:'blue', size:2});\r\n\r\nmc[k][j]=JSXBoard_b .create('point', [0,function () {return r*Math.sin(ma[k][j].Y());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, color:'green', size:2});\r\n\r\nmd[k][j]=JSXBoard_b .create('point', [mb[k][j],[kierto,muunnos,skaalaus]], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\nme[k][j]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return md[k][j].X();},function () {return md[k][j].Y()+mc[k][j].Y();}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:1});\r\n}\r\n\/\/ ma[k][N]=ma[k];\r\n}\r\nfor (let k=0; k<ma.length-1; k++) {\r\nfor (let j=0; j<ma.length-1; j++) {\r\n\/\/ if ((k+j)%4==0) {\r\nvar a=[];\r\nJSXBoard_b .create('polygon', [me[k][j],me[k+1][j],me[k+1][j+1],me[k][j+1]], {strokeWidth:1, strokeColor:'black', showInfoBox:false, highlight:false,visible:true,color:'blue',borders:{strokecolor:'blue',highlight:false}, size:2});\r\n\/\/}\r\n}\r\n}\r\n\r\nvar pa=[], pb=[], pc=[], pd=[], pe=[];\r\n\r\npa[0]=JSXBoard_a .create('point', [0,0], {name:'a', showInfoBox:false, visible:true, size:2});\r\npb[0]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return r*Math.cos(pa[0].Y())*Math.cos(pa[0].X());},function () {return r*Math.cos(pa[0].Y())*Math.sin(pa[0].X());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\npc[0]=JSXBoard_b .create('point', [0,function () {return r*Math.sin(pa[0].Y());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\npd[0]=JSXBoard_b .create('point', [pb[0],[kierto,muunnos,skaalaus]], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\npe[0]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return pd[0].X();},function () {return pd[0].Y()+pc[0].Y();}], {name:'u', showInfoBox:false, visible:true, size:2});\r\n\r\npa[1]=JSXBoard_a .create('point', [1,1], {name:'b', showInfoBox:false, visible:true, size:2});\r\npb[1]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return r*Math.cos(pa[1].Y())*Math.cos(pa[1].X());},function () {return r*Math.cos(pa[1].Y())*Math.sin(pa[1].X());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\npc[1]=JSXBoard_b .create('point', [0,function () {return r*Math.sin(pa[1].Y());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\npd[1]=JSXBoard_b .create('point', [pb[1],[kierto,muunnos,skaalaus]], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\npe[1]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return pd[1].X();},function () {return pd[1].Y()+pc[1].Y();}], {name:'v', showInfoBox:false, visible:true, size:2});\r\n\r\no=JSXBoard_b .create('point', [0,0], {name:'', showInfoBox:false, visible:true, size:2, color:'magenta'});\r\nJSXBoard_b .create('arrow', [o,pe[0]],{strokecolor:'magenta'});\r\nJSXBoard_b .create('arrow', [o,pe[1]],{strokecolor:'magenta'});\r\n\r\nvar qa=[], qb=[], qc=[], qd=[], qe=[];\r\n\r\nvar K=10;\r\nfor (let k=0; k<=K; k++) {\r\nqa[k]=JSXBoard_a .create('point', [function () {return (1-(k\/K))*pa[0].X()+(k\/K)*pa[1].X();},function () {return (1-(k\/K))*pa[0].Y()+(k\/K)*pa[1].Y();}], {name:'a', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\nqb[k]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return r*Math.cos(qa[k].Y())*Math.cos(qa[k].X());},function () {return r*Math.cos(qa[k].Y())*Math.sin(qa[k].X());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\nqc[k]=JSXBoard_b .create('point', [0,function () {return r*Math.sin(qa[k].Y());}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, size:2});\r\nqd[k]=JSXBoard_b .create('point', [qb[k],[kierto,muunnos,skaalaus]], {visible:false});\r\nqe[k]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return qd[k].X();},function () {return qd[k].Y()+qc[k].Y();}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, color:'green', size:2});\r\n}\r\n\r\n\/\/ luotisuora\r\nJSXBoard_b .create('segment', [pe[0],pe[1]], {strokeWidth:2, strokeColor:'red',dash:2, showInfoBox:false, visible:true, size:2});\r\n\r\n\/\/ \"karttasuora\"\r\nJSXBoard_a .create('segment', [pa[0],pa[1]],{strokecolor:'cyan',dash:2});\r\nJSXBoard_b .create('polygonalchain', qe,{borders:{strokecolor:'cyan',dash:2,strokewidth:2},highlight:false});\r\n\r\nJSXBoard_a .create('text',[0,2.2,\"Et\u00e4isyyksi\u00e4\"]);\r\n\r\n\r\nvar button1 = JSXBoard_a .create('button', [0,1.8, 'p\u00e4ivit\u00e4 todellinen et\u00e4isyys', function() {etai();}], {});\r\n\r\nJSXBoard_a .create('point', [3,2], {name:'<element id=\"set\"><\/element>', showInfoBox:false, visible:true, size:2});\r\n\r\nJSXBoard_a .create('point', [3,2.2], {name:'<element id=\"ket\"><\/element>', showInfoBox:false, visible:true, size:2, color:'cyan'});\r\n\r\nJSXBoard_a .create('point', [3,1.8], {name:'<element id=\"met\"><\/element>', showInfoBox:false, visible:true, size:2, color:'magenta'});\r\n\r\nJSXBoard_b .create('point', [2,7], {name:'<element id=\"vecu\"><\/element>', showInfoBox:false, visible:true, size:2, color:'magenta'});\r\nJSXBoard_b .create('point', [2,6.5], {name:'<element id=\"vecv\"><\/element>', showInfoBox:false, visible:true, size:2, color:'magenta'});\r\nJSXBoard_b .create('point', [2,6], {name:'<element id=\"anguv\"><\/element>', showInfoBox:false, visible:true, size:2, color:'magenta'});\r\n\r\nJSXBoard_a .on('move', function(){\r\n\/\/ function ketaisyys() {return (6371\/r)*pa[0].Dist(pa[1]);}\r\nfunction setaisyys() {return (6371\/r)*Math.sqrt((pb[0].Dist(pb[1]))**2+(pc[0].Dist(pc[1]))**2);}\r\n\r\nfunction kartalla() {return 6371*Math.sqrt((pa[0].X()-pa[1].X())**2+(pa[0].Y()-pa[1].Y())**2);}\r\n\r\nselem=document.getElementById('set');\r\nselem.innerHTML='maan l\u00e4pi: '+setaisyys().toFixed(0)+' km';\r\n\r\nkelem=document.getElementById('ket');\r\nkelem.innerHTML='kartalla: '+kartalla().toFixed(0)+' km';\r\n\r\nvar R=6371;\r\nvar desim=0;\r\nvar ker=R\/r;\r\nveku=document.getElementById('vecu');\r\nveku.innerHTML='u=['+(ker*pb[0].X()).toFixed(0)+','+(ker*pb[0].Y()).toFixed(0)+','+(ker*pc[0].Y()).toFixed(0)+']';\r\nvekv=document.getElementById('vecv');\r\nvekv.innerHTML='v=['+(ker*pb[1].X()).toFixed(0)+','+(ker*pb[1].Y()).toFixed(0)+','+(ker*pc[1].Y()).toFixed(0)+']';\r\n\r\nfunction kulma() {return (180\/Math.PI)*Math.acos(\r\n(pb[0].X()*pb[1].X()\r\n+pb[0].Y()*pb[1].Y()\r\n+pc[0].Y()*pc[1].Y())\r\n\/(\r\nMath.sqrt(pb[0].X()*pb[0].X()\r\n+pb[0].Y()*pb[0].Y()\r\n+pc[0].Y()*pc[0].Y())\r\n*Math.sqrt(pb[1].X()*pb[1].X()\r\n+pb[1].Y()*pb[1].Y()\r\n+pc[1].Y()*pc[1].Y())\r\n)\r\n);}\r\n\r\nanguvp=document.getElementById('anguv');\r\nanguvp.innerHTML='kulma: '+kulma().toFixed(2)+'&deg;';\r\n\r\n\/\/ etai();\r\n});\r\n\r\nfunction normi(v) {\r\nreturn Math.sqrt(v[0]**2+v[1]**2+v[2]**2);\r\n}\r\n\r\nfunction pituinen(v,t) {\r\nif (normi(v)<0.01) {\r\nreturn v;\r\n} else {\r\nvar w=[];\r\nw.push(v[0]*t\/normi(v));\r\nw.push(v[1]*t\/normi(v));\r\nw.push(v[2]*t\/normi(v));\r\nreturn w;\r\n}\r\n}\r\n\r\nfunction isoympyra(u,v,K,r) {\r\nvar pp=[];\r\nfor(let k=0; k<=K; k++) {\r\npp.push([]);\r\npp[k][0]=(1-(k\/K))*u[0]+(k\/K)*v[0];\r\npp[k][1]=(1-(k\/K))*u[1]+(k\/K)*v[1];\r\npp[k][2]=(1-(k\/K))*u[2]+(k\/K)*v[2];\r\npp[k]=pituinen(pp[k],r);\r\n}\r\nreturn pp;\r\n}\r\n\r\nfunction pistetulo(u,v) {return u[0]*v[0]+u[1]*v[1]+u[2]*v[2];}\r\n\r\nfunction vkulma(u,v) {\r\nu=pituinen(u,1);\r\nv=pituinen(v,1);\r\nkulma=Math.acos(pistetulo(u,v));\r\nreturn kulma;\r\n}\r\n\r\nfunction vkulmaet(u,v,r) {\r\nu=pituinen(u,1);\r\nv=pituinen(v,1);\r\nkulma=Math.acos(pistetulo(u,v));\r\nreturn r*kulma;\r\n}\r\n\r\n\r\n\r\n\r\nfunction etai() {\r\nKK=10;\r\n\/\/ u=[function () {return pb[0].X();},function () {return pb[0].Y();},function () {return pc[0].Y();}];\r\n\/\/ v=[function () {return pb[1].X();},function () {return pb[1].Y();},function () {return pc[1].Y();}];\r\n\r\n\r\n\r\nisop=isoympyra([pb[0].X(), pb[0].Y(), pc[0].Y()],[pb[1].X(), pb[1].Y(), pc[1].Y()],KK,r);\r\n\/\/ var isop = [[1,0,0],[1,1,1],[0,0,1]];\r\nvar sa=[], sb=[], sc=[], sd=[], se=[];\r\nfor (let k=0; k<=KK; k++) {\r\nsb[k]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return isop[k][0];}, function () {return isop[k][1];}], {name:'', visible:false});\r\nsc[k]=JSXBoard_b .create('point', [0,function () {return isop[k][2];}], {name:'', visible:false});\r\nsd[k]=JSXBoard_b .create('point', [sb[k],[kierto,muunnos,skaalaus]], {visible:false});\r\nse[k]=JSXBoard_b .create('point', [function () {return sd[k].X();},function () {return sd[k].Y()+sc[k].Y();}], {name:'', showInfoBox:false, visible:false, color:'magenta', size:2});\r\n}\r\n\r\n\r\nJSXBoard_b .create('polygonalchain', se,{borders:{strokecolor:'magenta',strokewidth:2},highlight:false});\r\n\r\nvar u=[pb[0].X(), pb[0].Y(), pc[0].Y()];\r\nvar v=[pb[1].X(), pb[1].Y(), pc[1].Y()];\r\n\r\nfunction metaisyys() {return metaisyys=vkulmaet(u,v,6371);}\r\n\r\nmelem=document.getElementById('met');\r\nmelem.innerHTML='maan pintaa pitkin: '+metaisyys().toFixed(0)+' km';\r\n}\r\n\r\netai();\r\n        })();\r\n<\/script> \n<p><b>Esimerkki.<\/b> Helsingin maantieteelliset koordinaatit ovat noin \\(\\varphi = 60.1^\\circ\\) ja \\(\\theta=24.6^\\circ\\), ja Tokion \\(\\varphi = 35.4^\\circ\\) ja \\(\\theta=139.4^\\circ\\). K\u00e4ytt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 pallokoordinaatteja \\[\\begin{cases} x = R \\cos\\varphi\\cos\\theta,\\\\ y = R\\cos\\varphi\\sin\\theta,\\\\ z = R\\sin\\varphi,\\end{cases}\\] miss\u00e4 \\(R=6371 \\, \\textrm{(km)}\\) on maan s\u00e4de, saadaan Helsinki\u00e4 ja Tokiota (karkeasti) esitt\u00e4v\u00e4t vektorit \\[\\mathbf{v}_H = (2888, 1322, 5523), \\quad \\mathbf{v}_T = (-3943, 3380, 3690).\\] Vektorien pistetulo on \\[\\mathbf{v}_H \\cdot \\mathbf{v}_T = 2888 \\cdot (-3943) + 1322\\cdot 3380 + 5523\\cdot 3690 = 13459524.\\] Koska vektorit ovat maan keskipisteest\u00e4 maan pinnalle, niin ne ovat maan s\u00e4teen pituisia. Eli \\(\\|\\mathbf{v}_H\\| = \\|\\mathbf{v}_T\\| = 6371\\). Vektoreiden v\u00e4liseksi kulmaksi saadaan \\[\\alpha = \\arccos\\left( \\frac{\\mathbf{v}_H \\cdot \\mathbf{v}_T}{\\|\\mathbf{v}_H\\| \\, \\|\\mathbf{v}_T\\|}\\right) = \\arccos\\left( \\frac{13459524}{6371^2}\\right) = 1.23 \\, \\text{(rad)} = 70.63^\\circ.\\] Maapallon pinnalla kulkevan isoympyr\u00e4n keh\u00e4n pituus on \\(2\\pi R = 40030\\, \\text{(km)}\\). Kaupunkien v\u00e4linen et\u00e4isyys on suoraan verrannollinen niiden v\u00e4liseen kulmaan. N\u00e4in ollen \\[\\text{et\u00e4isyys(Helsinki,Tokio)} = 40030 \\, \\text{(km)} \\cdot \\frac{70.63^\\circ}{360^\\circ} = 7853 \\, \\text{(km)}.\\] Internetin hakukoneen mukaan t\u00e4m\u00e4 on melko tarkkaan oikea et\u00e4isyys!<\/p>\n<hr \/>\n<p>Tekij\u00e4: Juha-Matti Huusko<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Vektoreiden avulla voi suoraviivaisesti ratkaista sellaisia ongelmia, joiden ratkaiseminen muuten olisi kovin monimutkaista. Er\u00e4s esimerkki on kahden eri puolilla maapalloa olevan kaupungin v\u00e4lisen et\u00e4isyyden laskeminen. Et\u00e4isyys osataan laskea, jos osataan esitt\u00e4\u00e4 kaupungit vektoreina, osataan laskea vektorien v\u00e4linen kulma ja tunnetaan maapallon s\u00e4de. Tutki oheista dynaamista kuviota. Esimerkki. Helsingin maantieteelliset koordinaatit ovat noin \\(\\varphi = 60.1^\\circ\\) [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-3381","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Kartta - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Kartta - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Vektoreiden avulla voi suoraviivaisesti ratkaista sellaisia ongelmia, joiden ratkaiseminen muuten olisi kovin monimutkaista. Er\u00e4s esimerkki on kahden eri puolilla maapalloa olevan kaupungin v\u00e4lisen et\u00e4isyyden laskeminen. Et\u00e4isyys osataan laskea, jos osataan esitt\u00e4\u00e4 kaupungit vektoreina, osataan laskea vektorien v\u00e4linen kulma ja tunnetaan maapallon s\u00e4de. Tutki oheista dynaamista kuviota. Esimerkki. Helsingin maantieteelliset koordinaatit ovat noin (varphi = 60.1^circ) [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:53:11+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"2 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/kartta\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/kartta\\\/\",\"name\":\"Kartta - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"datePublished\":\"2021-10-11T10:07:01+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:53:11+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/kartta\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/kartta\\\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/kartta\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Kartta\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Kartta - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Kartta - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Vektoreiden avulla voi suoraviivaisesti ratkaista sellaisia ongelmia, joiden ratkaiseminen muuten olisi kovin monimutkaista. Er\u00e4s esimerkki on kahden eri puolilla maapalloa olevan kaupungin v\u00e4lisen et\u00e4isyyden laskeminen. Et\u00e4isyys osataan laskea, jos osataan esitt\u00e4\u00e4 kaupungit vektoreina, osataan laskea vektorien v\u00e4linen kulma ja tunnetaan maapallon s\u00e4de. Tutki oheista dynaamista kuviota. Esimerkki. Helsingin maantieteelliset koordinaatit ovat noin (varphi = 60.1^circ) [&hellip;]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:53:11+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"2 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/","name":"Kartta - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"datePublished":"2021-10-11T10:07:01+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:53:11+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kartta\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Kartta"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3381","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3381"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3381\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5331,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3381\/revisions\/5331"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3381"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}