{"id":3535,"date":"2021-10-30T09:24:08","date_gmt":"2021-10-30T06:24:08","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?page_id=3535"},"modified":"2026-02-05T11:44:18","modified_gmt":"2026-02-05T09:44:18","slug":"todennakoisyys","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/","title":{"rendered":"Todenn\u00e4k\u00f6isyys"},"content":{"rendered":"<div style=\"max-width: 850px;margin: 0 auto;float: none;font-size: 110%;text-align: justify\">\n<p>Klassisen todenn\u00e4k\u00f6isyyden avulla voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4 esimerkiksi kannattaako korttipeliss\u00e4 ottaa riski voiton puolesta, vai kannattaisiko kuitenkin peli lopettaa ennen mahdollista h\u00e4vi\u00f6t\u00e4. Klassista todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4 voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 hyv\u00e4ksi muun muassa nopan heitossa, kolikon heitossa, ruletin py\u00f6rityksess\u00e4, lottoarvonnassa, kortin nostossa jne. Todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskennan ajatus onkin tullut alkujaan uhkapeleist\u00e4, jossa on haluttu kasvattaa voiton todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4. Nykyisin todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskentaan sovelletaan useilla tieteenaloilla kuten tilastotieteess\u00e4, tietojenk\u00e4sittelytieteess\u00e4 ja taloustutkimuksessa.<\/p>\n<p>Klassinen todenn\u00e4k\u00f6isyys tapahtumalle voitaisiin m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 n\u00e4in (Pierre-Simon Laplace, 1812, Th\u00e9orie analytique des probabilit\u00e9s): &#8221;Tapahtuman todenn\u00e4k\u00f6isyys on tapahtumaan liittyvien suotuisien tapauksien lukum\u00e4\u00e4r\u00e4n suhde kaikkien mahdollisten tapauksien lukum\u00e4\u00e4r\u00e4\u00e4n, kunhan voidaan olettaa, ettei mik\u00e4\u00e4n tapaus ole yleisempi kuin toinen.&#8221;<\/p>\n<p>Klassisella todenn\u00e4k\u00f6isyydell\u00e4 on tiettyj\u00e4 tunnusmerkkej\u00e4:<\/p>\n<ul style=\"margin-left: 40px\">\n<li>tapahtuma on satunnainen;<\/li>\n<li>jokaisella lopputuloksella on yht\u00e4 suuri todenn\u00e4k\u00f6isyys toteutua;<\/li>\n<li>tulos on jokin ennalta m\u00e4\u00e4ritellyist\u00e4 vaihtoehdoista;<\/li>\n<li>vain yksi lopputuloksista toteutuu.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Termej\u00e4, joita tarvitaan todenn\u00e4k\u00f6isyyksi\u00e4 laskettaessa:<\/p>\n<dl style=\"margin-left: 40px\">\n<dt>Alkeistapaus<\/dt>\n<dd>Satunnaisilmi\u00f6n mahdollinen lopputulos. Esimerkiksi noppaa heitett\u00e4ess\u00e4 &#8221;silm\u00e4luku 2&#8221; on er\u00e4s kuudesta erilaisesta alkeistapauksesta, ja kortinnostossa jokainen nostettu kortti on er\u00e4s 52:sta erilaisesta alkeistapauksesta.<\/dd>\n<dt>Tapahtuma<\/dt>\n<dd>Alkeistapauksien joukko, jolle voidaan m\u00e4\u00e4ritt\u00e4\u00e4 todenn\u00e4k\u00f6isyys. Kaikkien alkeistapauksien joukkoa kutsutaan perusjoukoksi. Esimerkiksi nopanheitossa silm\u00e4luvut \\(\\{1,2,3,4,5,6\\}\\) muodostavat perusjoukon, jonka parittomista silm\u00e4luvuista koostuva osajoukko \\(\\{1,3,5\\}\\) muodostaa tapahtuman. Kortinnostossa kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon, jolla on pata-korteista koostuva osajoukko eli tapahtuma.<\/dd>\n<dt>Suotuisa alkeistapaus<\/dt>\n<dd>Sellainen alkeistapaus, joka toteuttaa tapahtuman (eli kuuluu kyseiseen perusjoukon osajoukkoon). Esimerkiksi nopan heitossa alkeistapaus &#8221;silm\u00e4luku 5&#8221; on suotuisa alkeistapaus parittomien silm\u00e4lukujen muodostamalle tapahtumalle.<\/dd>\n<\/dl>\n<p>Matemaattisesti klassinen todenn\u00e4k\u00f6isyys \\(P(A)\\) tapahtumalle \\(A\\) lasketaan kaavalla<br \/>\n\\[P(A) = \\frac{\\text{suotuisien alkeistapausten lukum\u00e4\u00e4r\u00e4}}{\\text{kaikkien alkeistapausten lukum\u00e4\u00e4r\u00e4}}.\\]<\/p>\n<p><b>Esimerkki 1.<\/b> Nopan heitossa mahdollisia tuloksia ovat nopan silm\u00e4luvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Kaikki kuusi alkeistapahtumaa ovat yht\u00e4 todenn\u00e4k\u00f6isi\u00e4 muodostaen perusjoukon, joka merkit\u00e4\u00e4n \\(\\Omega = \\{1,2,3,4,5,6\\}\\). Perusjoukossa on \\(|\\Omega|=6\\) alkiota. Tapahtumassa \\(A=\\{1,3,5\\}\\) &#8221;heitet\u00e4\u00e4n pariton luku&#8221; on puolestaan \\(|A|=3\\) alkiota:<\/p>\n<figure style=\"text-align: center;margin: 35px 35px\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3622\" src=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/NopatE1.svg\" alt=\"\" width=\"594\" height=\"373\" \/><\/figure>\n<p>Nyt todenn\u00e4k\u00f6isyys saada pariton luku on<br \/>\n\\[ P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2} = 0.5\\, . \\]<\/p>\n<p><b>Esimerkki 2.<\/b> Korttipakassa on 52 korttia (ilman jokereita). Maita on nelj\u00e4: risti, ruutu, hertta ja pata. Hertta ja ruutu ovat punaisia, pata ja risti mustia. Jokaisessa maassa on 13 korttia: \u00e4ss\u00e4 (A), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, j\u00e4tk\u00e4 (J), akka (Q), kuningas (K).<\/p>\n<figure style=\"text-align: center;margin: 35px 35px\"><a href=\"https:\/\/www.maxpixel.net\/Card-Deck-Deck-Game-Playing-Cards-Gambling-Cards-161536\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3646\" src=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/KorttiPakka.svg\" alt=\"\" width=\"1027\" height=\"493\" \/><\/a><\/figure>\n<p>Mill\u00e4 todenn\u00e4k\u00f6isyydell\u00e4 satunnaisesti pakasta nostettu kortti on (a) hertta; (b) kuvakortti; (c) patakymppi (d) pata tai kymppi?<\/p>\n<p><em>Ratkaisu. <\/em> (a) Nyt perusjoukossa \\(\\Omega\\) on alkioita \\(|\\Omega|=52\\). Tapahtumassa &#8221;hertta&#8221; on puolestaan 13 alkiota. N\u00e4in ollen todenn\u00e4k\u00f6isyys nostaa pakasta hertta on<br \/>\n\\[ P(\\text{&#8221;hertta&#8221;}) = \\frac{13}{52} = \\frac{1}{4} = 0.25\\, . \\]<\/p>\n<p>(b) Kuvakorteiksi lasketaan korttipakassa J, Q ja K. N\u00e4in ollen kuvakortteja on 12 kappaletta. N\u00e4in ollen todenn\u00e4k\u00f6isyys nostaa pakasta kuvakortti on<br \/>\n\\[ P(\\text{&#8221;kuvakortti&#8221;}) = \\frac{12}{52} = \\frac{3}{13} \\approx 0.231\\, . \\]<\/p>\n<p>(c) Korttipakassa on vain yksi patakymppi, eli tapahtumassa on vain yksi alkeistapaus. N\u00e4in ollen todenn\u00e4k\u00f6isyys nostaa pakasta patakymppi on<br \/>\n\\[ P(\\text{&#8221;patakymppi&#8221;}) = \\frac{1}{52} \\approx 0.019\\, . \\]<\/p>\n<p>(d) Pakassa on 13 pataa ja nelj\u00e4 kymppi\u00e4. Yksi korteista (patakymppi) on sek\u00e4 pata ett\u00e4 kymppi, joten tapahtuman alkeistapauksissa pit\u00e4\u00e4 muistaa laskea patakymppi mukaan vain kerran. Suotuisien tapahtumien m\u00e4\u00e4r\u00e4 on siis \\(13+4 -1 = 16\\). N\u00e4in ollen todenn\u00e4k\u00f6isyys nostaa pakasta patakymppi on<br \/>\n\\[ P(\\text{&#8221;pata tai kymppi&#8221;}) = \\frac{16}{52} = \\frac{4}{13} \\approx 0.308\\, . \\]<\/p>\n<h2>Riippumattomat tapahtumat<\/h2>\n<p>Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia kesken\u00e4\u00e4n silloin, kun niiden tapahtumistodenn\u00e4k\u00f6isyys ei riipu siit\u00e4 tapahtuuko toinen asia. T\u00e4t\u00e4 merkit\u00e4\u00e4n \\(A\\perp B\\). Riippumattomat tapahtumat \\(A\\) ja \\(B\\) toteuttavat laskus\u00e4\u00e4nn\u00f6t:<br \/>\n\\[\\begin{aligned} P(\\text{\\(A\\) ja \\(B\\)}) &amp; = P(A) \\cdot P(B),\\\\<br \/>\nP(\\text{\\(A\\) tai \\(B\\)}) &amp; = P(A) + P(B) \\, &#8211; P(\\text{\\(A\\) ja \\(B\\)}) \\end{aligned}\\]<br \/>\nJ\u00e4lkimm\u00e4isess\u00e4 kaavassa t\u00e4ytyy v\u00e4hent\u00e4\u00e4 tapahtumien \\(A\\) ja \\(B\\) yht\u00e4 aikaa tapahtuminen samalla tavalla kuin aiemmassa esimerkiss\u00e4 \u201dpata tai kymppi\u201d piti v\u00e4hent\u00e4\u00e4 kaksi kertaa laskettava kortti patakymppi.<\/p>\n<figure style=\"text-align: center;margin: 35px 35px\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3703\" src=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/Venn.svg\" alt=\"\" width=\"2279\" height=\"1451\" \/><\/figure>\n<p><b>Esimerkki 3.<\/b> Martti heitt\u00e4\u00e4 noppaa ja Risto kolikkoa. Tarkastellaan tapahtumia A=&#8221;Martti saa kakkosen&#8221; ja B=&#8221;Risto saa klaavan&#8221;. Tapahtumat ovat riippumattomia ja niiden todenn\u00e4k\u00f6isyydet ovat \\(P(A)=1\/6\\) ja \\(P(B)=1\/2\\). N\u00e4in ollen<br \/>\n\\[\\begin{aligned} P(\\text{\\(A\\) ja \\(B\\)}) &amp; = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{12} \\approx 0.083,\\\\<br \/>\nP(\\text{\\(A\\) tai \\(B\\)}) &amp; = \\frac{1}{6} + \\frac{1}{2} \\, &#8211; \\frac{1}{12} = \\frac{7}{12} \\approx 0.583\\, .\\end{aligned}\\]<\/p>\n<h2>Komplementti<\/h2>\n<p>Aiemmassa esimerkiss\u00e4 laskettiin Martin todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4 saada nopan heitolla silm\u00e4luvuksi kakkonen. Jos haluammekin laskea todenn\u00e4k\u00f6isyyden sille, ett\u00e4 Martti EI saa kakkosta, voimme k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 tapahtuman komplementtia. Tapahtuman \\(C\\) komplementti on tapahtuma \\(\\neg C\\), joka sis\u00e4lt\u00e4\u00e4 kaikki ne perusjoukon alkeistapaukset, jotka eiv\u00e4t kuulu tapahtumaan \\(C\\).<\/p>\n<p>Jokainen yksitt\u00e4inen alkeistapaus toteuttaa aina joko tapahtuman \\(C\\) tai tapahtuman \\(C\\) komplementin. Toisin sanoen edelt\u00e4v\u00e4ss\u00e4 nopanheitto-esimerkiss\u00e4 Martin heitt\u00e4m\u00e4n nopan silm\u00e4luku kuuluu joko joukkoon \\(\\{2\\}\\) tai t\u00e4m\u00e4n komplementtiin \\(\\{1, 3, 4, 5, 6\\}\\). N\u00e4m\u00e4 kaksi perusjoukon osajoukkoa muodostavat kaikkien nopanheiton alkeistapausten joukon eli perusjoukon \\(\\{1,2,3,4,5,6\\}\\). Yleisesti p\u00e4tee \\(P(C) + P(\\neg C) = 1\\).<\/p>\n<h2>Mahdoton ja varma tapahtuma<\/h2>\n<p>Mahdotonta tapahtumaa kuvaa tyhj\u00e4 joukko, joka matemaattisessa mieless\u00e4 ajateltuna on perusjoukon osajoukko. Mahdottoman tapahtuman todenn\u00e4k\u00f6isyys on nolla. Varma tapahtuma sis\u00e4lt\u00e4\u00e4 puolestaan kaikki perusjoukon alkiot. Varman tapahtuman todenn\u00e4k\u00f6isyys on yksi.<\/p>\n<p>Jokaisen tapahtuman \\(A\\) todenn\u00e4k\u00f6isyys toteuttaa aina ep\u00e4yht\u00e4l\u00f6t \\(0\\leq P(A) \\leq 1\\).<\/p>\n<hr \/>\n<p>Tekij\u00e4t: Mikko Juvonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Klassisen todenn\u00e4k\u00f6isyyden avulla voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4 esimerkiksi kannattaako korttipeliss\u00e4 ottaa riski voiton puolesta, vai kannattaisiko kuitenkin peli lopettaa ennen mahdollista h\u00e4vi\u00f6t\u00e4. Klassista todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4 voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 hyv\u00e4ksi muun muassa nopan heitossa, kolikon heitossa, ruletin py\u00f6rityksess\u00e4, lottoarvonnassa, kortin nostossa jne. Todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskennan ajatus onkin tullut alkujaan uhkapeleist\u00e4, jossa on haluttu kasvattaa voiton todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4. Nykyisin todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskentaan sovelletaan useilla tieteenaloilla kuten [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-3535","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.1.1 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Todenn\u00e4k\u00f6isyys - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Todenn\u00e4k\u00f6isyys - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Klassisen todenn\u00e4k\u00f6isyyden avulla voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4 esimerkiksi kannattaako korttipeliss\u00e4 ottaa riski voiton puolesta, vai kannattaisiko kuitenkin peli lopettaa ennen mahdollista h\u00e4vi\u00f6t\u00e4. Klassista todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4 voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 hyv\u00e4ksi muun muassa nopan heitossa, kolikon heitossa, ruletin py\u00f6rityksess\u00e4, lottoarvonnassa, kortin nostossa jne. Todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskennan ajatus onkin tullut alkujaan uhkapeleist\u00e4, jossa on haluttu kasvattaa voiton todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4. Nykyisin todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskentaan sovelletaan useilla tieteenaloilla kuten [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:44:18+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"6 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/\",\"name\":\"Todenn\u00e4k\u00f6isyys - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/NopatE1.svg\",\"datePublished\":\"2021-10-30T06:24:08+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:44:18+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/NopatE1.svg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/NopatE1.svg\",\"width\":2373,\"height\":1495},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Todenn\u00e4k\u00f6isyys\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Todenn\u00e4k\u00f6isyys - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Todenn\u00e4k\u00f6isyys - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Klassisen todenn\u00e4k\u00f6isyyden avulla voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4 esimerkiksi kannattaako korttipeliss\u00e4 ottaa riski voiton puolesta, vai kannattaisiko kuitenkin peli lopettaa ennen mahdollista h\u00e4vi\u00f6t\u00e4. Klassista todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4 voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 hyv\u00e4ksi muun muassa nopan heitossa, kolikon heitossa, ruletin py\u00f6rityksess\u00e4, lottoarvonnassa, kortin nostossa jne. Todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskennan ajatus onkin tullut alkujaan uhkapeleist\u00e4, jossa on haluttu kasvattaa voiton todenn\u00e4k\u00f6isyytt\u00e4. Nykyisin todenn\u00e4k\u00f6isyyslaskentaan sovelletaan useilla tieteenaloilla kuten [&hellip;]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:44:18+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"6 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/","name":"Todenn\u00e4k\u00f6isyys - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/NopatE1.svg","datePublished":"2021-10-30T06:24:08+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:44:18+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/NopatE1.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/NopatE1.svg","width":2373,"height":1495},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/todennakoisyys\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Todenn\u00e4k\u00f6isyys"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3535","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3535"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3535\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5325,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3535\/revisions\/5325"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3535"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}