{"id":3748,"date":"2021-10-30T12:09:34","date_gmt":"2021-10-30T09:09:34","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?page_id=3748"},"modified":"2026-02-19T11:11:52","modified_gmt":"2026-02-19T09:11:52","slug":"tilastot","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/","title":{"rendered":"Tilastot"},"content":{"rendered":"
\n

Tilastollisia tunnuslukuja voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 numeerisen aineiston analysointiin. Tilastollisten tunnuslukujen idea on siin\u00e4, ett\u00e4 tunnusluvut kuvaavat mahdollisesti hyvinkin suurta aineistoa yksinkertaisella tavalla. Tarkastellaan kuvitteellista aineistoa oppilaiden pituuksista er\u00e4\u00e4ss\u00e4 koululuokassa:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Oppilas<\/th>\nPituus (cm)<\/th>\n<\/tr>\n
Oppilas 1<\/td>\n159<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 2<\/td>\n160<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 3<\/td>\n160<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 4<\/td>\n160<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 5<\/td>\n161<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 6<\/td>\n162<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 7<\/td>\n163<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 8<\/td>\n164<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 9<\/td>\n165<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 10<\/td>\n165<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 11<\/td>\n166<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 12<\/td>\n167<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 13<\/td>\n167<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 14<\/td>\n168<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 15<\/td>\n168<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 16<\/td>\n169<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 17<\/td>\n171<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 18<\/td>\n173<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 19<\/td>\n175<\/td>\n<\/tr>\n
Oppilas 20<\/td>\n180<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Keskiarvo \\(\\overline{x}\\)<\/h2>\n

Keskiarvo \\(\\overline{x}\\) saadaan laskemalla havaintojen \\(x_1, x_2, \\dotsc, x_n\\) summa ja jakamalla se havaintojen lukum\u00e4\u00e4r\u00e4ll\u00e4 \\(n\\), eli \\[\\overline{x}=\\frac{1}{n}\\, \\sum_{i=1}^n x_i.\\] Yll\u00e4 olevan esimerkkiaineiston tapauksessa laskettaisiin \\[\\overline{x}=\\frac{159+160+\\dotsb + 180}{20} = 166.50\\, .\\]<\/p>\n

Moodi (Mo)<\/h2>\n

Moodi kertoo mik\u00e4 havaintoarvo esiintyy aineistossa useimmin. Moodia kutsutaan my\u00f6s tyyppiarvoksi. Yll\u00e4 olevassa esimerkkiaineistossa moodi on 160, koska se toistuu aineistossa yhteens\u00e4 kolme kertaa. Moodeja voi olla useitakin. Jos esimerkkiaineistossa olisi ollut viel\u00e4 yksi 165 cm pitk\u00e4 oppilas lis\u00e4\u00e4, olisi moodeja ollut kaksi: 160 ja 165.<\/p>\n

Mediaani (Md)<\/h2>\n

Mediaania varten aineiston havainnot pit\u00e4\u00e4 laittaa suuruusj\u00e4rjestykseen. Mediaani on t\u00e4m\u00e4n j\u00e4rjestetyn aineiston keskimm\u00e4inen havainto. Jos havaintoja on parillinen m\u00e4\u00e4r\u00e4, kuten yll\u00e4 olevassa esimerkkiaineistossa, mediaani on silloin kahden keskimm\u00e4isen havainnon keskiarvo.<\/p>\n

Yll\u00e4 olevan esimerkkiaineiston havainnot ovat suuruusj\u00e4rjestyksess\u00e4: 159, 160, 160, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 165<\/span>, 166<\/span>, 167, 167, 168, 168, 169, 171, 173, 175, 180. N\u00e4in ollen \\[{\\rm Md} = \\frac{165+166}{2} = 165.5\\, .\\]<\/p>\n

Tunnuslukujen hy\u00f6dyllisyys riippuu tapauksesta.<\/p>\n

Esimerkki 1.<\/b> Er\u00e4\u00e4ll\u00e4 matematiikan tunnilla laskettiin keskiarvo ja mediaani oppilaiden mukana kuljettaman k\u00e4teisen rahan m\u00e4\u00e4r\u00e4st\u00e4. Keskiarvoksi saatiin 15.30 euroa ja mediaaniksi 16.50 euroa. Sitten er\u00e4s opiskelija muisti laittaneensa mustan urheilukassin sivutaskuun 24 000 000 euroa, vaikka h\u00e4n oli aiemmin ilmoittanut raham\u00e4\u00e4r\u00e4kseen vain 20 euroa. Uuden aineiston mukainen keskiarvo on 1 046 493.56 euroa ja mediaani edelleen 16.50 euroa.<\/p>\n

T\u00e4st\u00e4 voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4, ett\u00e4 yksitt\u00e4iset \u00e4\u00e4rimm\u00e4iset havainnot sekoittavat keskiarvoa. Yll\u00e4 mainitussa tilanteessa keskiarvo ei kuvaa keskim\u00e4\u00e4r\u00e4ist\u00e4 opiskelijoiden rahatilannetta. T\u00e4m\u00e4n esimerkin tapauksessa mediaani on immuuni yksitt\u00e4iselle \u00e4\u00e4rimm\u00e4iselle havainnolle.<\/p>\n

Prosenttipisteet (Pn%)<\/h2>\n

T\u00e4m\u00e4 tunnusluku on tietyss\u00e4 mieless\u00e4 mediaanin kaltainen. Mediaani jakaa havaintojen lukum\u00e4\u00e4r\u00e4n perusteella aineiston kahtia. Eli puolet aineistosta on mediaanin alapuolella ja puolet sen yl\u00e4puolella. Aineisto voidaan jakaa my\u00f6s miss\u00e4 tahansa muussa prosenttisuhteessa:<\/p>\n

    \n
  • 25%-piste = alakvartiili \\((Q_1)\\);<\/li>\n
  • 75%-piste = yl\u00e4kvartiili \\((Q_3)\\);<\/li>\n
  • desiilit m\u00e4\u00e4r\u00e4ytyv\u00e4t t\u00e4ysien kymmenprosenttien mukaan, eli 10%-piste \\((D_1)\\); 20%-piste \\((D_2)\\) jne.<\/li>\n<\/ul>\n

    Esimerkki 2.<\/b> K\u00e4ytet\u00e4\u00e4n edelleen aineistoa oppilaiden pituudesta esimerkkin\u00e4. Punaisella v\u00e4rill\u00e4 on merkitty alakvartiili, eli ensimm\u00e4inen nelj\u00e4nnes, ja sinisell\u00e4 v\u00e4rill\u00e4 yl\u00e4kvartiili, eli nelj\u00e4s nelj\u00e4nnes: 159<\/span>, 160<\/span>, 160<\/span>, 160<\/span>, 161<\/span>, 162, 163, 164, 165, 165, 166, 167, 167, 168, 168, 169<\/span>, 171<\/span>, 173<\/span>, 175<\/span>, 180<\/span>.<\/p>\n

    Hajontalukuja<\/h2>\n

    Hajontaluvuilla kuvataan sit\u00e4, kuinka kaukana keskiarvosta aineiston arvot keskim\u00e4\u00e4rin ovat.<\/p>\n

    \n
    Vaihteluv\u00e4li<\/dt>\n
    Aineiston pienimm\u00e4n ja suurimman arvon mukainen v\u00e4li. Pituuksia koskevassa esimerkkiaineistossa vaihteluv\u00e4li on 159-180.<\/dd>\n
    Vaihteluv\u00e4lin pituus<\/dt>\n
    Suurimman ja pienimm\u00e4n arvon erotus. Esimerkkiaineistossa vaihteluv\u00e4lin pituus on 180-159=21.<\/dd>\n
    Kvartiiliv\u00e4li, kvartiiliv\u00e4lin pituus<\/dt>\n
    Kuten edell\u00e4, mutta tiettyyn kvartiiliin soveltaen.<\/dd>\n
    Keskihajonta<\/dt>\n
    Tarkastellaan keskihajonnan laskemista vaiheittain: (1) Lasketaan ensin jokaisen arvon \\(x_i\\) osalta sen poikkeama \\(x_i-\\overline{x}\\) keskiarvosta; (2) Lasketaan n\u00e4iden poikkeamien neli\u00f6iden keskiarvo eli varianssi; (3) Otetaan viel\u00e4 neli\u00f6juuri. Aineiston \\(x_1,x_2,\\dotsc, x_n\\) keskihajonnaksi saadaan siis \\[ \\sqrt{\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})^2}.\\]<\/dd>\n
    Otoskeskihajonta<\/dt>\n
    Tilastollisessa tutkimuksessa tarkastellaan usein pient\u00e4 osaa (otosta) koko aineistosta. Otoksen avulla voidaan arvioida koko aineiston keskihajontaa. Koska otosta k\u00e4sitelt\u00e4essa ei tunneta koko aineiston keskiarvoa, korvataan syntyv\u00e4\u00e4 v\u00e4\u00e4ristym\u00e4\u00e4 korvaamalla keskihajonnan kaavan nimitt\u00e4j\u00e4ss\u00e4 oleva luku \\(n\\) luvulla \\(n-1\\). N\u00e4in saadaan otoskeskihajonnan kaava: \\[ \\sqrt{\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})^2}.\\]<\/dd>\n<\/dl>\n

    Laskeminen Excelill\u00e4<\/h2>\n

    Tilastollisia tunnuslukuja on helppo laskea Excelill\u00e4, sill\u00e4 siit\u00e4 l\u00f6ytyy valmiit komennot niiden laskemiseen. Tarvitset vain aineiston Exceliin ja oikean komennon, niin Excel laskee tunnusluvut sinulle valmiiksi!<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
    Tunnusluku<\/th>\nKomento<\/th>\n<\/tr>\n
    Moodi<\/td>\n=MOODI.YKSI(alue)<\/td>\n<\/tr>\n
    Mediaani<\/td>\n=MEDIAANI(alue)<\/td>\n<\/tr>\n
    Keskiarvo<\/td>\n=KESKIARVO(alue)<\/td>\n<\/tr>\n
    Prosenttipiste<\/td>\n=PROSENTTIPISTE.ULK(alue, p%)<\/td>\n<\/tr>\n
    Pienin arvo<\/td>\n=MIN(alue)<\/td>\n<\/tr>\n
    Suurin arvo<\/td>\n=MAKS(alue)<\/td>\n<\/tr>\n
    Keskihajonta<\/td>\n=KESKIHAJONTA.P(alue)<\/td>\n<\/tr>\n
    Otoskeskihajonta<\/td>\n=KESKIHAJONTA.S(alue)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
    \n

    Tekij\u00e4t: Mikko Juvonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Tilastollisia tunnuslukuja voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 numeerisen aineiston analysointiin. Tilastollisten tunnuslukujen idea on siin\u00e4, ett\u00e4 tunnusluvut kuvaavat mahdollisesti hyvinkin suurta aineistoa yksinkertaisella tavalla. Tarkastellaan kuvitteellista aineistoa oppilaiden pituuksista er\u00e4\u00e4ss\u00e4 koululuokassa: Oppilas Pituus (cm) Oppilas 1 159 Oppilas 2 160 Oppilas 3 160 Oppilas 4 160 Oppilas 5 161 Oppilas 6 162 Oppilas 7 163 Oppilas 8 164 […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-3748","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nTilastot - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Tilastot - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tilastollisia tunnuslukuja voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 numeerisen aineiston analysointiin. Tilastollisten tunnuslukujen idea on siin\u00e4, ett\u00e4 tunnusluvut kuvaavat mahdollisesti hyvinkin suurta aineistoa yksinkertaisella tavalla. Tarkastellaan kuvitteellista aineistoa oppilaiden pituuksista er\u00e4\u00e4ss\u00e4 koululuokassa: Oppilas Pituus (cm) Oppilas 1 159 Oppilas 2 160 Oppilas 3 160 Oppilas 4 160 Oppilas 5 161 Oppilas 6 162 Oppilas 7 163 Oppilas 8 164 […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-19T09:11:52+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"4 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/tilastot\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/tilastot\\\/\",\"name\":\"Tilastot - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"datePublished\":\"2021-10-30T09:09:34+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-19T09:11:52+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/tilastot\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/tilastot\\\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/tilastot\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Tilastot\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Tilastot - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Tilastot - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Tilastollisia tunnuslukuja voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 numeerisen aineiston analysointiin. Tilastollisten tunnuslukujen idea on siin\u00e4, ett\u00e4 tunnusluvut kuvaavat mahdollisesti hyvinkin suurta aineistoa yksinkertaisella tavalla. Tarkastellaan kuvitteellista aineistoa oppilaiden pituuksista er\u00e4\u00e4ss\u00e4 koululuokassa: Oppilas Pituus (cm) Oppilas 1 159 Oppilas 2 160 Oppilas 3 160 Oppilas 4 160 Oppilas 5 161 Oppilas 6 162 Oppilas 7 163 Oppilas 8 164 […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-19T09:11:52+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"4 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/","name":"Tilastot - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"datePublished":"2021-10-30T09:09:34+00:00","dateModified":"2026-02-19T09:11:52+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/tilastot\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Tilastot"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3748","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3748"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3748\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5345,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3748\/revisions\/5345"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3748"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}