{"id":3874,"date":"2021-10-30T14:06:07","date_gmt":"2021-10-30T11:06:07","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?page_id=3874"},"modified":"2026-02-05T11:48:36","modified_gmt":"2026-02-05T09:48:36","slug":"yhtalot","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/","title":{"rendered":"Yht\u00e4l\u00f6t"},"content":{"rendered":"
\n

Yleisess\u00e4 tapauksessa yht\u00e4l\u00f6iden ratkaiseminen on \u00e4\u00e4rimm\u00e4isen hankalaa. Vaikka kyse olisi ”helposta” polynomiyht\u00e4l\u00f6iden erikoistapauksesta, niin yleisi\u00e4 ratkaisukaavoja on tarjolla ainoastaan matala-asteisten polynomiyht\u00e4l\u00f6iden tapauksissa. Jos yht\u00e4l\u00f6\u00e4 ei osata ratkaista t\u00e4sm\u00e4llisesti, on usein mielek\u00e4st\u00e4 soveltaa numeerisia menetelmi\u00e4, joilla voidaan tietokoneavusteisesti selvitt\u00e4\u00e4 ratkaisujen likiarvoja.<\/p>\n

Alla tarkastellaan toisen asteen polynomiyht\u00e4l\u00f6iden ratkaisemista. T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa ratkaisut voidaan esitt\u00e4\u00e4 polynomin kertoimista muodostetun ratkaisukaavan avulla.<\/p>\n

Toisen asteen yht\u00e4l\u00f6t<\/h2>\n

Toisen asteen polynomiyht\u00e4l\u00f6 on muotoa \\(\\color{red}{a}x^2+ \\color{blue}{b}x+\\color{green}{c}=0\\), miss\u00e4 johtokerroin \\(\\color{red}{a}\\neq 0\\). T\u00e4m\u00e4n yht\u00e4l\u00f6n ratkaisut saadaan ratkaisukaavasta \\[x=\\frac{-\\color{blue}{b}\\pm\\sqrt{\\color{blue}{b}^2 – 4 \\color{red}{a} \\color{green}{c}}}{2\\color{red}{a}}.\\]<\/p>\n

Esimerkki 1.<\/b> Ratkaise toisen asteen polynomiyht\u00e4l\u00f6 \\(x^2-4x+3=0\\).<\/p>\n

Ratkaisu.<\/em> Yht\u00e4l\u00f6n \\(\\color{red}{1}x^2\\color{blue}{-4}x+\\color{green}{3}=0\\) ratkaisut ovat \\[x=\\frac{-\\color{blue}{(-4)}\\pm\\sqrt{\\color{blue}{(-4)}^2 – 4 \\cdot \\color{red}{1} \\cdot \\color{green}{3}}}{2\\cdot \\color{red}{1}} = \\frac{4\\pm \\sqrt{4}}{2}= \\frac{4\\pm 2}{2},\\] eli \\(x=3\\) tai \\(x=1\\).<\/p>\n

Yleisess\u00e4 tapauksessa toisen asteen polynomiyht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 reaalisia ratkaisuja (eli juuria) voi olla kaksi, yksi (ns. kaksoisjuuri) tai ei yht\u00e4\u00e4n. Yht\u00e4l\u00f6n ratkaisujen lukum\u00e4\u00e4r\u00e4 n\u00e4hd\u00e4\u00e4n helposti tarkastelemalla ratkaisukaavan diskriminantiksi kutsuttua osaa \\( D = \\color{blue}{b}^2 – 4 \\color{red}{a} \\color{green}{c}\\,\\,\\):<\/p>\n

\n
\\(D>0\\)<\/dt>\n
Yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 on kaksi ratkaisua, jotka saadaan suoraan yll\u00e4 olevasta ratkaisukaavasta. Alla olevassa kuvassa nollakohdat \\(A\\) ja \\(B\\) ovat t\u00e4llaisen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisuja.<\/dd>\n
\\(D=0\\)<\/dt>\n
Yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 on yksi ratkaisu (kaksoisjuuri), joka saadaan suoraan yll\u00e4 olevasta ratkaisukaavasta. Alla olevassa kuvassa nollakohta \\(C\\) on t\u00e4llaisen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisu.<\/dd>\n
\\(D<0\\)<\/dt>\n
Yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 ei ole ratkaisuja. Koska diskriminantti on negatiivinen, niin yll\u00e4 olevassa ratkaisukaavassa olevaa neli\u00f6juurta ei ole m\u00e4\u00e4ritelty. Alla olevassa kuvassa n\u00e4kyy my\u00f6s t\u00e4llainen tilanne, jossa vihre\u00e4 alasp\u00e4in aukeava paraabeli on leikkaa ollenkaan \\(x\\)-akselia.<\/dd>\n<\/dl>\n
\"\"<\/a><\/figure>\n

Esimerkki 2.<\/b> Mill\u00e4 vakion \\(k\\) arvoilla yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 \\(2x^2+kx+50=0\\) on kaksi ratkaisua?<\/p>\n

Ratkaisu.<\/em> Toisen asteen yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 on kaksi juurta, kun yht\u00e4l\u00f6n diskriminantti on positiivinen. T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa \\(D=k^2 – 4\\cdot 2 \\cdot 50 = k^2-400 \\), joten seuraavaksi t\u00e4ytyy tutkia mill\u00e4 muuttujan \\(k\\) arvoilla \\(k^2-400>0\\).<\/p>\n

Tilannetta voidaan havainnollistaa m\u00e4\u00e4ritt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 ensin toisen asteen polynomifunktion \\(k^2-400\\) nollakohdat, jotka ovat \\(k=20\\) ja \\(k=-20\\). Funktion \\(k^2-400\\) kuvaaja on yl\u00f6sp\u00e4in aukeava paraabeli kuten oheissa kuvassa.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/figure>\n

Alkuper\u00e4isell\u00e4 yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 on kaksi ratkaisua t\u00e4sm\u00e4lleen silloin, kun diskriminantti \\(k^2-400\\) on positiivinen, joka puolestaan toteutuu t\u00e4sm\u00e4lleen silloin kun \\(k\\) pienempi kuin \\(-20\\) tai suurempi kuin \\(20\\).<\/p>\n

Ratkaisukaavan johtaminen<\/h2>\n

Ratkaisukaava voidaan johtaa neli\u00f6ksi t\u00e4ydent\u00e4m\u00e4ll\u00e4 l\u00e4htien liikkeelle toisen asteen yht\u00e4l\u00f6st\u00e4. Oletetaan, ett\u00e4 \\(a\\neq 0\\) ja diskriminantti on ei-negatiivinen. T\u00e4ll\u00f6in yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 on kaksi ratkaisua ja ne saadaan laskemalla
\n\\[\\begin{aligned}
\n& ax^2 + bx + c = 0 \\\\
\n& \\qquad \\Longleftrightarrow \\qquad 4a^2 x^2 + 4abx + 4ac = 0\\\\
\n& \\qquad \\Longleftrightarrow \\qquad 4a^2x^2+4abx=-4ac \\\\
\n& \\qquad \\Longleftrightarrow \\qquad (2ax)^2 + 2 \\cdot 2ax \\cdot b + b^2 = b^2 – 4ac \\\\
\n& \\qquad \\Longleftrightarrow \\qquad (2ax+b)^2 = b^2 – 4ac \\\\
\n& \\qquad \\Longleftrightarrow \\qquad 2ax+b = \\pm \\sqrt{b^2 – 4ac} \\\\
\n& \\qquad \\Longleftrightarrow \\qquad x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.
\n\\end{aligned}\\]<\/p>\n

\n

Tekij\u00e4t: Ella Pirhonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Yleisess\u00e4 tapauksessa yht\u00e4l\u00f6iden ratkaiseminen on \u00e4\u00e4rimm\u00e4isen hankalaa. Vaikka kyse olisi ”helposta” polynomiyht\u00e4l\u00f6iden erikoistapauksesta, niin yleisi\u00e4 ratkaisukaavoja on tarjolla ainoastaan matala-asteisten polynomiyht\u00e4l\u00f6iden tapauksissa. Jos yht\u00e4l\u00f6\u00e4 ei osata ratkaista t\u00e4sm\u00e4llisesti, on usein mielek\u00e4st\u00e4 soveltaa numeerisia menetelmi\u00e4, joilla voidaan tietokoneavusteisesti selvitt\u00e4\u00e4 ratkaisujen likiarvoja. Alla tarkastellaan toisen asteen polynomiyht\u00e4l\u00f6iden ratkaisemista. T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa ratkaisut voidaan esitt\u00e4\u00e4 polynomin kertoimista muodostetun ratkaisukaavan […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-3874","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nYht\u00e4l\u00f6t - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Yht\u00e4l\u00f6t - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Yleisess\u00e4 tapauksessa yht\u00e4l\u00f6iden ratkaiseminen on \u00e4\u00e4rimm\u00e4isen hankalaa. Vaikka kyse olisi ”helposta” polynomiyht\u00e4l\u00f6iden erikoistapauksesta, niin yleisi\u00e4 ratkaisukaavoja on tarjolla ainoastaan matala-asteisten polynomiyht\u00e4l\u00f6iden tapauksissa. Jos yht\u00e4l\u00f6\u00e4 ei osata ratkaista t\u00e4sm\u00e4llisesti, on usein mielek\u00e4st\u00e4 soveltaa numeerisia menetelmi\u00e4, joilla voidaan tietokoneavusteisesti selvitt\u00e4\u00e4 ratkaisujen likiarvoja. Alla tarkastellaan toisen asteen polynomiyht\u00e4l\u00f6iden ratkaisemista. T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa ratkaisut voidaan esitt\u00e4\u00e4 polynomin kertoimista muodostetun ratkaisukaavan […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:48:36+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"3 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/\",\"name\":\"Yht\u00e4l\u00f6t - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2021\\\/10\\\/Kuvaajat_toisenasteen.svg\",\"datePublished\":\"2021-10-30T11:06:07+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:48:36+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2021\\\/10\\\/Kuvaajat_toisenasteen.svg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2021\\\/10\\\/Kuvaajat_toisenasteen.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/yhtalot\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Yht\u00e4l\u00f6t\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Yht\u00e4l\u00f6t - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Yht\u00e4l\u00f6t - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Yleisess\u00e4 tapauksessa yht\u00e4l\u00f6iden ratkaiseminen on \u00e4\u00e4rimm\u00e4isen hankalaa. Vaikka kyse olisi ”helposta” polynomiyht\u00e4l\u00f6iden erikoistapauksesta, niin yleisi\u00e4 ratkaisukaavoja on tarjolla ainoastaan matala-asteisten polynomiyht\u00e4l\u00f6iden tapauksissa. Jos yht\u00e4l\u00f6\u00e4 ei osata ratkaista t\u00e4sm\u00e4llisesti, on usein mielek\u00e4st\u00e4 soveltaa numeerisia menetelmi\u00e4, joilla voidaan tietokoneavusteisesti selvitt\u00e4\u00e4 ratkaisujen likiarvoja. Alla tarkastellaan toisen asteen polynomiyht\u00e4l\u00f6iden ratkaisemista. T\u00e4ss\u00e4 tapauksessa ratkaisut voidaan esitt\u00e4\u00e4 polynomin kertoimista muodostetun ratkaisukaavan […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:48:36+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"3 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/","name":"Yht\u00e4l\u00f6t - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/Kuvaajat_toisenasteen.svg","datePublished":"2021-10-30T11:06:07+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:48:36+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/Kuvaajat_toisenasteen.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2021\/10\/Kuvaajat_toisenasteen.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/yhtalot\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Yht\u00e4l\u00f6t"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3874","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3874"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3874\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5328,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/3874\/revisions\/5328"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3874"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}