{"id":4018,"date":"2021-10-30T15:20:45","date_gmt":"2021-10-30T12:20:45","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?page_id=4018"},"modified":"2026-02-05T11:46:20","modified_gmt":"2026-02-05T09:46:20","slug":"kolmiot","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/kolmiot\/","title":{"rendered":"Kolmiot"},"content":{"rendered":"
\n

Kolmioiden geometria pit\u00e4\u00e4 sis\u00e4ll\u00e4\u00e4n toinen toistaan mielenkiintoisempi tuloksia. Seuraavaksi p\u00e4\u00e4set tutustumaan matemaatikkoja jo yli vuosisadan kiehtoneeseen havaintoon, jonka algebrallisen geometrian taitaja, Frank Morley, toi julki vuonna 1904. Voit havaita t\u00e4m\u00e4n kyseisen ilmi\u00f6n aivan itse. Kokeile vaikka!<\/p>\n

    \n
  1. Piirr\u00e4 ensin kolmio. Kolmio saa olla ihan millainen vain; ter\u00e4v\u00e4kulmainen, tylpp\u00e4kulmainen tai suorakulmainen.<\/li>\n
  2. Jaa kolmiosi kulmat kolmeen osaan. Voit tehd\u00e4 t\u00e4m\u00e4n esimerkiksi mittaamalla kolmiosi kulmat ja jakamalla saamasi mitat kolmella. Piirr\u00e4 t\u00e4m\u00e4n j\u00e4lkeen kulman kolmijakajat n\u00e4kyviin.<\/li>\n
  3. Merkitse kolmijakajien leikkauspisteet n\u00e4kyviin.<\/li>\n
  4. Yhdist\u00e4 leikkauspisteet janoilla.<\/li>\n<\/ol>\n

    Mit\u00e4 huomasit? Millainen kuvio muodostui? Mik\u00e4li piirsit kuvion oikein, kolmijakajien leikkauspisteet yhdist\u00e4m\u00e4ll\u00e4 pit\u00e4isi muodostua tasasivuinen kolmio<\/span>. T\u00e4t\u00e4 tasasivuista kolmiota kutsutaan Morleyn kolmioksi.<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    Punaisella havainnollistetun Morleyn kolmion painopistett\u00e4 kutsutaan Morleyn ensimm\u00e4iseksi pisteeksi (kuvassa \\(M_1\\)):<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    Morleyn toinen piste (kuvassa \\(M_2\\)) syntyy, kun alkuper\u00e4isen piirretyn kolmion k\u00e4rjist\u00e4 piirretyt janat tasasivuisen kolmion kauimmaisiin k\u00e4rkiin leikkaavat toisensa.<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    N\u00e4m\u00e4 kaksi pistett\u00e4 kuuluvat kolmion merkillisiin pisteisiin, joita on olemassa yhteens\u00e4 yli 5000!<\/p>\n

    Eik\u00e4 t\u00e4ss\u00e4 viel\u00e4 kaikki! Nimitt\u00e4in t\u00e4m\u00e4n yksinkertaisimman tapauksen lis\u00e4ksi voidaan ottaa huomioon kaikki eri tavat jakaa kolmion (hieman alempana olevassa kuvassa sinireunainen kolmio \\(ABC\\)) kulmat kolmeen osaan. Kolmion sis\u00e4kulmien jakamisen lis\u00e4ksi voidaan nimitt\u00e4in jakaa my\u00f6s kolmion ulkokulmat ja eksplementtikulmat (katso kuva) kolmeen osaan.<\/p>\n

    \n
    \"\"<\/div>\n
    \"\"<\/div>\n
    \"\"<\/div>\n<\/div>\n

    T\u00e4ll\u00f6in muodostuu\u2026osaatko laskea kuvasta, kuinka monta tasasivuista kolmiota?<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/p>\n

    Vastaus on 27 tasasivuista kolmiota, joista 18 on Morleyn kolmioita eli muodostuvat kolmijakajien leikkauspisteet yhdist\u00e4m\u00e4ll\u00e4. Taulukossa l\u00f6ydetyt Morleyn kolmiot:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
    Kolmijakajatyypit<\/th>\nMuodostuneet tasasivuiset kolmiot<\/th>\n<\/tr>\n
    Kaikki samaa tyyppi\u00e4<\/td>\n\\(xyz\\), \\(\\xi\\eta\\psi\\), \\(XYZ\\)<\/td>\n<\/tr>\n
    Kaikki eri tyyppi\u00e4 tyyppi\u00e4<\/td>\n\\(x’\\eta’Z’\\), \\(\\xi’Y’z’\\), \\(X’y’\\psi’\\), \\(\\xi’ ’ y’ ’Z’ ’\\), \\(X’ ’\\eta’ ’z’ ’\\), \\(x’ ’Y’ ’\\psi’ ’\\)<\/td>\n<\/tr>\n
    Kaksi sis\u00e4- ja yksi eksplementtijakaja<\/td>\n\\(xy’ ’z’\\), \\(x’yz’ ’\\), \\(x’ ’y’z\\)<\/td>\n<\/tr>\n
    Kaksi ulko- ja yksi sis\u00e4jakaja<\/td>\n\\(\\xi\\eta’ ’\\psi’\\), \\(\\xi’\\eta\\psi’ ’\\), \\(\\xi’ ’\\eta’\\psi\\)<\/td>\n<\/tr>\n
    Kaksi eksplementti- ja yksi ulkojakaja<\/td>\n\\(X’ ’Y’Z\\), \\(XY’ ’ Z’\\), \\(X’YZ’ ’\\)<\/td>\n<\/tr>\n
    <\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

    Seuraavaksi p\u00e4\u00e4set tutustumaan todistukseen, jonka avulla todistetaan Morleyn tekem\u00e4 havainto kolmijakajien muodostamasta tasasivuisesta kolmiosta. Todistus mukailee John Conwayn vuonna 1995 esitt\u00e4m\u00e4\u00e4 todistusta, jonka visuaalisuus ja lyhyys tekee siit\u00e4 helposti ymm\u00e4rrett\u00e4v\u00e4n. Todistus kuuluu seuraavasti:<\/p>\n

    Olkoon kolmion \\(ABC\\) kulmat suuruudeltaan \\(3\\alpha\\), \\(3\\beta\\) ja \\(3\\gamma\\). K\u00e4ytet\u00e4\u00e4n apuna merkint\u00e4\u00e4 \\(x^* = x + 60^\\circ\\). Sill\u00e4 \\(3\\alpha + 3\\beta + 3\\gamma = 180^\\circ\\), niin \\(\\alpha + \\beta + \\gamma = 60^\\circ\\). Nyt on mahdollista muodostaa seitsem\u00e4n kolmiota seuraavasti:<\/p>\n