{"id":45,"date":"2020-10-07T15:05:18","date_gmt":"2020-10-07T12:05:18","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=45"},"modified":"2026-02-05T11:50:32","modified_gmt":"2026-02-05T09:50:32","slug":"derivaatta","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/","title":{"rendered":"Derivaatta"},"content":{"rendered":"
\n

T\u00e4ll\u00e4 alisivulla k\u00e4sitelt\u00e4v\u00e4 derivaatan k\u00e4site on keskeinen lukion pitk\u00e4ss\u00e4 matematiikassa. Kulmakertoimien ja tangenttisuorien yht\u00e4l\u00f6iden k\u00e4sittely vaatii matemaattisen analyysin perusteiden hallintaa, mutta sivun lopussa esitelt\u00e4v\u00e4 differentiaalilaskennan v\u00e4liarvolause on geometrisesti ilmeinen jo alakouluik\u00e4iselle lapselle. T\u00e4m\u00e4 v\u00e4liarvolause n\u00e4yttelee matemaattisessa analyysiss\u00e4 keskeist\u00e4 roolia.<\/p>\n

Tarkastellaan funktion \\(f \\) k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4 kiinnitetyn pisteen \\(x_0 \\in\\mathbb{R}\\) ymp\u00e4rist\u00f6ss\u00e4. Pyrit\u00e4\u00e4n l\u00f6yt\u00e4m\u00e4\u00e4n suora (meille helposti hallittava otus), joka kuvaa parhaimmalla mahdollisella tavalla t\u00e4t\u00e4 (mahdollisesti hyvin monimutkaista ja hankalaa) funktiota t\u00e4ss\u00e4 tarkastelupisteess\u00e4.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Funktion kuvaaja \\(y=f(x)\\) kulkee tasopisteen \\(P=(x_0,f(x_0))\\) kautta, joten my\u00f6s approksimoivan suoran tulee luonnollisesti kulkea t\u00e4m\u00e4n tasopisteen kautta. Approksimoivan suoran tulee kuvata funktion kasvua ja sen kulmakerroin l\u00f6ydet\u00e4\u00e4nkin sekanttien kulmakertoimien raja-arvona. Valitaan pisteen \\(P\\) l\u00e4helt\u00e4 toinen k\u00e4yr\u00e4lle kuuluva piste \\(Q=(x_0+h,f(x_0+h))\\), miss\u00e4 \\(h\\) on itseisarvoltaan pieni reaaliluku. Pisteiden \\(P\\) ja \\(Q\\) kautta kulkevan suoran (sekantin) kulmakerroin on \\[\\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{(x_0+h) – x_0} = \\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}.\\] Kun piste \\(Q\\) l\u00e4hestyy pistett\u00e4 \\(P\\) pitkin kuvaajaa \\(y=f(x)\\), niin sekantti muuttuu funktion \\(f\\) k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4 arvolla \\(x=x_0\\) parhaalla mahdollisella tavalla approksimoivaksi suoraksi, jota kutsutaan funktion \\(f\\) tangentiksi pisteess\u00e4 \\(P\\). Tangentin kulmakerroin \\(k\\) l\u00f6ydet\u00e4\u00e4n siis raja-arvona \\[k = \\lim_{h\\to 0} \\, \\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}. \\tag{\\(\\star\\)}\\] Tangentin yht\u00e4l\u00f6 on sellaisen suoran yht\u00e4l\u00f6, joka kulkee pisteen \\(P\\) kautta ja jolla on kulmakerroin \\(k\\). N\u00e4in ollen tangentin yht\u00e4l\u00f6ksi saadaan \\[ y – f(x_0) = k (x-x_0).\\]<\/p>\n

Jos raja-arvo \\((\\star)\\) on olemassa, ja sen lukuarvo on \u00e4\u00e4rellinen, niin lukua \\(k\\) kutsutaan funktion \\(f\\) derivaataksi pisteess\u00e4 \\(x=x_0\\) ja sit\u00e4 merkit\u00e4\u00e4n symbolilla \\(f'(x_0)\\).<\/p>\n

Derivaatan m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4st\u00e4 voidaan johtaa tutut derivointikaavat:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Funktion arvo pisteess\u00e4 \\(x\\)<\/th>\nDerivaatan arvo pisteess\u00e4 \\(x\\)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
\\(f(x)\\)<\/td>\n\\(f'(x)\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(f(x)\\pm g(x)\\)<\/td>\n\\(f'(x) \\pm g'(x)\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(f(x) g(x)\\)<\/td>\n\\(f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\(\\displaystyle\\frac{f(x)}{g(x)}\\)<\/td>\n\\(\\displaystyle\\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\)<\/td>\n<\/tr>\n
\\( (f\\circ g)(x) = f(g(x))\\)<\/td>\n\\( f'(g(x)) \\, g'(x)\\)<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Er\u00e4s reaalianalyysin kulmakivi\u00e4 on differentiaalilaskennan v\u00e4liarvolause<\/a>. Jos derivoituvan funktion \\(f\\) kuvaajalta \\( y=f(x)\\) poimitaan pisteet \\((a,f(a))\\) ja \\((b,f(b))\\), niin pisteiden kautta kulkevan suoran (sekantin) kulmakerroin on \\[\\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\\] mik\u00e4 on funktion keskim\u00e4\u00e4r\u00e4inen kasvunopeus<\/i> v\u00e4lill\u00e4 \\([a,b]\\). V\u00e4liarvolauseen mukaan keskim\u00e4\u00e4r\u00e4inen kasvunopeus saavutetaan v\u00e4lill\u00e4 \\([a,b]\\), eli on olemassa (ainakin yksi) piste \\(c\\in (a,b)\\), jossa tangentin kulmakerroin on sama kuin keskim\u00e4\u00e4r\u00e4inen kasvunopeus.<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

V\u00e4liarvolause on geometrisesti ilmeinen. K\u00e4yr\u00e4n pisteiden \\((a,f(a))\\) ja \\((b,f(b))\\) v\u00e4liss\u00e4 t\u00e4ytyy olla piste, johon piirretty (kuvassa punainen) tangentti on (kuvassa sinisen) sekantin suuntainen. Intuitiivisesti t\u00e4m\u00e4 ominaisuus liittyy niihin pisteisiin, miss\u00e4 k\u00e4yr\u00e4 k\u00e4\u00e4ntyy kohti toista p\u00e4\u00e4tepistett\u00e4. Huomaa, ett\u00e4 t\u00e4llaisia pisteit\u00e4 \\(c\\) voi olla useita!<\/p>\n

Differentiaalilaskennan v\u00e4liarvolause. <\/b>Olkoon \\(f\\) jatkuva suljetulla v\u00e4lill\u00e4 \\([a,b]\\) ja derivoituva avoimella v\u00e4lill\u00e4 \\((a,b)\\). T\u00e4ll\u00f6in on olemassa (ainakin yksi) sellainen piste \\(c\\in (a,b)\\), ett\u00e4
\n\\[
\nf'(c) = \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
\n\\]<\/p>\n

V\u00e4liarvolauseen erikoistapaus \\(f(b)=f(a)\\) ja \\(f'(c)=0\\) tunnetaan nimell\u00e4 Rollen lause<\/i>.<\/p>\n

\n

Tekij\u00e4: Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

T\u00e4ll\u00e4 alisivulla k\u00e4sitelt\u00e4v\u00e4 derivaatan k\u00e4site on keskeinen lukion pitk\u00e4ss\u00e4 matematiikassa. Kulmakertoimien ja tangenttisuorien yht\u00e4l\u00f6iden k\u00e4sittely vaatii matemaattisen analyysin perusteiden hallintaa, mutta sivun lopussa esitelt\u00e4v\u00e4 differentiaalilaskennan v\u00e4liarvolause on geometrisesti ilmeinen jo alakouluik\u00e4iselle lapselle. T\u00e4m\u00e4 v\u00e4liarvolause n\u00e4yttelee matemaattisessa analyysiss\u00e4 keskeist\u00e4 roolia. Tarkastellaan funktion \\(f \\) k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4 kiinnitetyn pisteen \\(x_0 \\in\\mathbb{R}\\) ymp\u00e4rist\u00f6ss\u00e4. Pyrit\u00e4\u00e4n l\u00f6yt\u00e4m\u00e4\u00e4n suora (meille helposti hallittava […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":2,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-45","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nDerivaatta - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Derivaatta - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"T\u00e4ll\u00e4 alisivulla k\u00e4sitelt\u00e4v\u00e4 derivaatan k\u00e4site on keskeinen lukion pitk\u00e4ss\u00e4 matematiikassa. Kulmakertoimien ja tangenttisuorien yht\u00e4l\u00f6iden k\u00e4sittely vaatii matemaattisen analyysin perusteiden hallintaa, mutta sivun lopussa esitelt\u00e4v\u00e4 differentiaalilaskennan v\u00e4liarvolause on geometrisesti ilmeinen jo alakouluik\u00e4iselle lapselle. T\u00e4m\u00e4 v\u00e4liarvolause n\u00e4yttelee matemaattisessa analyysiss\u00e4 keskeist\u00e4 roolia. Tarkastellaan funktion (f ) k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4 kiinnitetyn pisteen (x_0 inmathbb{R}) ymp\u00e4rist\u00f6ss\u00e4. Pyrit\u00e4\u00e4n l\u00f6yt\u00e4m\u00e4\u00e4n suora (meille helposti hallittava […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:50:32+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"3 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/\",\"name\":\"Derivaatta - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/tangentti.svg\",\"datePublished\":\"2020-10-07T12:05:18+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:50:32+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/tangentti.svg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\\\/wp-content\\\/uploads\\\/sites\\\/181\\\/2020\\\/10\\\/tangentti.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/derivaatta\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Derivaatta\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/sites.uef.fi\\\/mahtavaa-matematiikkaa\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Derivaatta - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Derivaatta - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"T\u00e4ll\u00e4 alisivulla k\u00e4sitelt\u00e4v\u00e4 derivaatan k\u00e4site on keskeinen lukion pitk\u00e4ss\u00e4 matematiikassa. Kulmakertoimien ja tangenttisuorien yht\u00e4l\u00f6iden k\u00e4sittely vaatii matemaattisen analyysin perusteiden hallintaa, mutta sivun lopussa esitelt\u00e4v\u00e4 differentiaalilaskennan v\u00e4liarvolause on geometrisesti ilmeinen jo alakouluik\u00e4iselle lapselle. T\u00e4m\u00e4 v\u00e4liarvolause n\u00e4yttelee matemaattisessa analyysiss\u00e4 keskeist\u00e4 roolia. Tarkastellaan funktion (f ) k\u00e4ytt\u00e4ytymist\u00e4 kiinnitetyn pisteen (x_0 inmathbb{R}) ymp\u00e4rist\u00f6ss\u00e4. Pyrit\u00e4\u00e4n l\u00f6yt\u00e4m\u00e4\u00e4n suora (meille helposti hallittava […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:50:32+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"3 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/","name":"Derivaatta - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/tangentti.svg","datePublished":"2020-10-07T12:05:18+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:50:32+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/tangentti.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/tangentti.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/derivaatta\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Derivaatta"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/45","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=45"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/45\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5329,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/45\/revisions\/5329"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=45"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}