{"id":967,"date":"2020-10-26T16:33:40","date_gmt":"2020-10-26T14:33:40","guid":{"rendered":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/?page_id=967"},"modified":"2026-02-05T11:29:11","modified_gmt":"2026-02-05T09:29:11","slug":"geometriset-todistukset","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/","title":{"rendered":"Geometriset todistukset"},"content":{"rendered":"
\n

Geometrian avulla on mahdollista todistaa monia tunnettuja matemaattisia tuloksia.<\/p>\n

Pythagoraan lause<\/h3>\n

Hyvin tunnetulle Pythagoraan lauseelle<\/a> on olemassa useita erilaisia geometrisia todistuksia, joista t\u00e4ss\u00e4 esitell\u00e4\u00e4n kaksi. Ensimm\u00e4isess\u00e4 todistuksessa nelj\u00e4 samanlaista suorakulmaista kolmiota on aseteltu kahdella eri tavalla neli\u00f6\u00f6n, jonka sivun pituus on \\(a+b\\).<\/p>\n

\"\"<\/a>Kun molemmista neli\u00f6ist\u00e4 lasketaan peitt\u00e4m\u00e4tt\u00e4 j\u00e4\u00e4neen alueen pinta-ala, saadaan tuttu Pythagoraan lause \\[a^2 + b^2 = c^2.\\]<\/p>\n

Pythagoraan lause on mahdollista todistaa my\u00f6s oheisessa kuvassa esitetyn puolisuunnikkaan avulla. Puolisuunnikas koostuu kolmesta suorakulmaisesta kolmiosta. Puolisuunnikkaan pinta-ala<\/a> on tunnetusti\\[ \\frac{a+b}{2} \\cdot (a+b) = \\frac{a^2+b^2 + 2ab}{2} = \\frac{1}{2} (a^2 + b^2) + ab.\\] Kolmioiden pinta-alojen summa on \\[ 2 \\cdot \\frac{ab}{2} + \\frac{c^2}{2} = ab + \\frac{c^2}{2}.\\] Koska pinta-alat ovat yht\u00e4 suuret, niin \\[ \\frac{1}{2} (a^2 + b^2) + ab = ab + \\frac{c^2}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a^2 + b^2 = c^2.\\]<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Kolmion kulmien summa<\/h3>\n

Geometrian avulla voidaan todistaa, ett\u00e4 kolmion kulmien summa on \\(180\\) astetta. Todistuksessa kolmion kulmat ”leikataan irti” ja asetellaan vierekk\u00e4in samaan pisteeseen. T\u00e4ll\u00f6in huomataan, ett\u00e4 irtileikatuista kulmista muodostuu oikokulma. V\u00e4ite seuraa, sill\u00e4 oikokulman suuruus on 180 astetta. Kokeile t\u00e4t\u00e4 paperiarkin ja saksien kanssa!<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Summakaavoja<\/h3>\n

Parittomien lukujen summakaava \\[ 1+3+5+7+\\dotsb + (2n-1)= n^2\\] voidaan todistaa geometrisesti. Asetetaan ympyr\u00f6it\u00e4 summattavan lukum\u00e4\u00e4r\u00e4n mukaisesti ja huomataan, ett\u00e4 niist\u00e4 muodostuu neli\u00f6m\u00e4inen muodostelma, josta parittomien lukujen summakaava voidaan lukea. Keksitk\u00f6 miten?<\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

My\u00f6s geometrinen sarja \\[ \\frac{1}{4} + \\left( \\frac{1}{4} \\right)^2 + \\left( \\frac{1}{4} \\right)^3 + \\dotsb = \\frac{1}{3} \\] on mahdollista perustella geometrisesti. Piirret\u00e4\u00e4n tasasivuinen kolmio, jonka pinta-ala on yksi. Jaetaan alkuper\u00e4inen tasasivuinen kolmio nelj\u00e4\u00e4n yht\u00e4 suureen kolmioon, jolloin jokaisen pienemm\u00e4n kolmion pinta-ala on \\(\\frac{1}{4}\\).<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Jaetaan ylimm\u00e4inen n\u00e4in muodostuneista pienemmist\u00e4 kolmioista vastaavalla tavalla nelj\u00e4\u00e4n yht\u00e4 suureen osaan. N\u00e4in muodostuneiden kolmioiden pinta-ala on \\(\\frac{1}{4}\\cdot\\frac{1}{4} = \\frac{1}{16}\\). Jatketaan t\u00e4t\u00e4 menettelytapaa. Alkuper\u00e4isen kolmion keskelle muodostuneen kolmiojonon pinta-alojen summa on siis \\[ \\frac{1}{4} + \\left( \\frac{1}{4} \\right)^2 + \\left( \\frac{1}{4} \\right)^3 + \\dotsb .\\]<\/p>\n

Tarkastellaan sitten alkuper\u00e4iseen kolmioon muodostuneita vaakarivej\u00e4. Merkit\u00e4\u00e4n kunkin vaakarivin pinta-alaa \\(T_n\\), miss\u00e4 \\(n\\in\\mathbb{N}\\). Keskijonoon kuuluva v\u00e4rillinen kolmio kattaa aina kolmasosan koko vaakarivist\u00e4. Ensimm\u00e4iselle vaakariville kuuluva keskikolmio on pinta-alaltaan \\(\\frac{T_1}{3}\\), toiselle vaakariville kuuluva \\(\\frac{T_2}{3}\\) ja niin edelleen. T\u00e4m\u00e4n perusteella keskijonon kolmioiden pinta-alojen summa on \\[ \\begin{aligned} & \\frac{T_1}{3} + \\frac{T_2}{3} + \\frac{T_3}{3} + \\dotsb\\\\ & \\qquad = \\frac{1}{3} \\big( T_1 + T_2 + T_3 + \\dotsb \\big)\\\\ & \\qquad = \\frac{1}{3} \\cdot \\text{(alkuper\u00e4isen kolmion pinta-ala)}\\\\ & \\qquad = \\frac{1}{3}. \\end{aligned} \\] Yhdist\u00e4m\u00e4ll\u00e4 p\u00e4\u00e4ttelyt saadaan kaava \\[ \\frac{1}{4} + \\left( \\frac{1}{4} \\right)^2 + \\left( \\frac{1}{4} \\right)^3 + \\dotsb = \\frac{1}{3}. \\]<\/p>\n

\n

Tekij\u00e4t: Ella Pirhonen ja Janne Gr\u00f6hn<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Geometrian avulla on mahdollista todistaa monia tunnettuja matemaattisia tuloksia. Pythagoraan lause Hyvin tunnetulle Pythagoraan lauseelle on olemassa useita erilaisia geometrisia todistuksia, joista t\u00e4ss\u00e4 esitell\u00e4\u00e4n kaksi. Ensimm\u00e4isess\u00e4 todistuksessa nelj\u00e4 samanlaista suorakulmaista kolmiota on aseteltu kahdella eri tavalla neli\u00f6\u00f6n, jonka sivun pituus on \\(a+b\\). Kun molemmista neli\u00f6ist\u00e4 lasketaan peitt\u00e4m\u00e4tt\u00e4 j\u00e4\u00e4neen alueen pinta-ala, saadaan tuttu Pythagoraan lause \\[a^2 […]<\/p>\n","protected":false},"author":267,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_acf_changed":false,"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-967","page","type-page","status-publish","hentry"],"acf":[],"yoast_head":"\nGeometriset todistukset - Mahtavaa matematiikkaa<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fi_FI\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Geometriset todistukset - Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Geometrian avulla on mahdollista todistaa monia tunnettuja matemaattisia tuloksia. Pythagoraan lause Hyvin tunnetulle Pythagoraan lauseelle on olemassa useita erilaisia geometrisia todistuksia, joista t\u00e4ss\u00e4 esitell\u00e4\u00e4n kaksi. Ensimm\u00e4isess\u00e4 todistuksessa nelj\u00e4 samanlaista suorakulmaista kolmiota on aseteltu kahdella eri tavalla neli\u00f6\u00f6n, jonka sivun pituus on (a+b). Kun molemmista neli\u00f6ist\u00e4 lasketaan peitt\u00e4m\u00e4tt\u00e4 j\u00e4\u00e4neen alueen pinta-ala, saadaan tuttu Pythagoraan lause [a^2 […]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Mahtavaa matematiikkaa\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-02-05T09:29:11+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Arvioitu lukuaika\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"4 minuuttia\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/\",\"name\":\"Geometriset todistukset - Mahtavaa matematiikkaa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Tod1-1.svg\",\"datePublished\":\"2020-10-26T14:33:40+00:00\",\"dateModified\":\"2026-02-05T09:29:11+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fi\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fi\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Tod1-1.svg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Tod1-1.svg\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Geometriset todistukset\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website\",\"url\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/\",\"name\":\"Mahtavaa matematiikkaa\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fi\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Geometriset todistukset - Mahtavaa matematiikkaa","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/","og_locale":"fi_FI","og_type":"article","og_title":"Geometriset todistukset - Mahtavaa matematiikkaa","og_description":"Geometrian avulla on mahdollista todistaa monia tunnettuja matemaattisia tuloksia. Pythagoraan lause Hyvin tunnetulle Pythagoraan lauseelle on olemassa useita erilaisia geometrisia todistuksia, joista t\u00e4ss\u00e4 esitell\u00e4\u00e4n kaksi. Ensimm\u00e4isess\u00e4 todistuksessa nelj\u00e4 samanlaista suorakulmaista kolmiota on aseteltu kahdella eri tavalla neli\u00f6\u00f6n, jonka sivun pituus on (a+b). Kun molemmista neli\u00f6ist\u00e4 lasketaan peitt\u00e4m\u00e4tt\u00e4 j\u00e4\u00e4neen alueen pinta-ala, saadaan tuttu Pythagoraan lause [a^2 […]","og_url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/","og_site_name":"Mahtavaa matematiikkaa","article_modified_time":"2026-02-05T09:29:11+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Arvioitu lukuaika":"4 minuuttia"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/","name":"Geometriset todistukset - Mahtavaa matematiikkaa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Tod1-1.svg","datePublished":"2020-10-26T14:33:40+00:00","dateModified":"2026-02-05T09:29:11+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fi","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fi","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#primaryimage","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Tod1-1.svg","contentUrl":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa-2020\/wp-content\/uploads\/sites\/181\/2020\/10\/Tod1-1.svg"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/geometriset-todistukset\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Geometriset todistukset"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/#website","url":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/","name":"Mahtavaa matematiikkaa","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fi"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/967","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=967"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/967\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5315,"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/967\/revisions\/5315"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sites.uef.fi\/mahtavaa-matematiikkaa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=967"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}