Yhtälöt

Yleisessä tapauksessa yhtälöiden ratkaiseminen on äärimmäisen hankalaa. Vaikka kyse olisi ”helposta” polynomiyhtälöiden erikoistapauksesta, niin yleisiä ratkaisukaavoja on tarjolla ainoastaan matala-asteisten polynomiyhtälöiden tapauksissa. Jos yhtälöä ei osata ratkaista täsmällisesti, on usein mielekästä soveltaa numeerisia menetelmiä, joilla voidaan tietokoneavusteisesti selvittää ratkaisujen likiarvoja.

Alla tarkastellaan toisen asteen polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Tässä tapauksessa ratkaisut voidaan esittää polynomin kertoimista muodostetun ratkaisukaavan avulla.

Toisen asteen yhtälöt

Toisen asteen polynomiyhtälö on muotoa \(\color{red}{a}x^2+ \color{blue}{b}x+\color{green}{c}=0\), missä johtokerroin \(\color{red}{a}\neq 0\). Tämän yhtälön ratkaisut saadaan ratkaisukaavasta \[x=\frac{-\color{blue}{b}\pm\sqrt{\color{blue}{b}^2 – 4 \color{red}{a} \color{green}{c}}}{2\color{red}{a}}.\]

Esimerkki 1. Ratkaise toisen asteen polynomiyhtälö \(x^2-4x+3=0\).

Ratkaisu. Yhtälön \(\color{red}{1}x^2\color{blue}{-4}x+\color{green}{3}=0\) ratkaisut ovat \[x=\frac{-\color{blue}{(-4)}\pm\sqrt{\color{blue}{(-4)}^2 – 4 \cdot \color{red}{1} \cdot \color{green}{3}}}{2\cdot \color{red}{1}} = \frac{4\pm \sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2},\] eli \(x=3\) tai \(x=1\).

Yleisessä tapauksessa toisen asteen polynomiyhtälöllä reaalisia ratkaisuja (eli juuria) voi olla kaksi, yksi (ns. kaksoisjuuri) tai ei yhtään. Yhtälön ratkaisujen lukumäärä nähdään helposti tarkastelemalla ratkaisukaavan diskriminantiksi kutsuttua osaa \( D = \color{blue}{b}^2 – 4 \color{red}{a} \color{green}{c}\,\,\):

\(D>0\)

Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, jotka saadaan suoraan yllä olevasta ratkaisukaavasta. Alla olevassa kuvassa nollakohdat \(A\) ja \(B\) ovat tällaisen yhtälön ratkaisuja.

\(D=0\)

Yhtälöllä on yksi ratkaisu (kaksoisjuuri), joka saadaan suoraan yllä olevasta ratkaisukaavasta. Alla olevassa kuvassa nollakohta \(C\) on tällaisen yhtälön ratkaisu.

\(D<0\)

Yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Koska diskriminantti on negatiivinen, niin yllä olevassa ratkaisukaavassa olevaa neliöjuurta ei ole määritelty. Alla olevassa kuvassa näkyy myös tällainen tilanne, jossa vihreä alaspäin aukeava paraabeli on leikkaa ollenkaan \(x\)-akselia.

Esimerkki 2. Millä vakion \(k\) arvoilla yhtälöllä \(2x^2+kx+50=0\) on kaksi ratkaisua?

Ratkaisu. Toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta, kun yhtälön diskriminantti on positiivinen. Tässä tapauksessa \(D=k^2 – 4\cdot 2 \cdot 50 = k^2-400 \), joten seuraavaksi täytyy tutkia millä muuttujan \(k\) arvoilla \(k^2-400>0\).

Tilannetta voidaan havainnollistaa määrittämällä ensin toisen asteen polynomifunktion \(k^2-400\) nollakohdat, jotka ovat \(k=20\) ja \(k=-20\). Funktion \(k^2-400\) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli kuten oheissa kuvassa.

Alkuperäisellä yhtälöllä on kaksi ratkaisua täsmälleen silloin, kun diskriminantti \(k^2-400\) on positiivinen, joka puolestaan toteutuu täsmälleen silloin kun \(k\) pienempi kuin \(-20\) tai suurempi kuin \(20\).

Ratkaisukaavan johtaminen

Ratkaisukaava voidaan johtaa neliöksi täydentämällä lähtien liikkeelle toisen asteen yhtälöstä. Oletetaan, että \(a\neq 0\) ja diskriminantti on ei-negatiivinen. Tällöin yhtälöllä on kaksi ratkaisua ja ne saadaan laskemalla
\[\begin{aligned}
& ax^2 + bx + c = 0 \\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad 4a^2 x^2 + 4abx + 4ac = 0\\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad 4a^2x^2+4abx=-4ac \\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad (2ax)^2 + 2 \cdot 2ax \cdot b + b^2 = b^2 – 4ac \\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad (2ax+b)^2 = b^2 – 4ac \\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad 2ax+b = \pm \sqrt{b^2 – 4ac} \\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.
\end{aligned}\]