Todennäköisyys

Klassinen todennäköisyys

Klassisen todennäköisyyden avulla voidaan päätellä esimerkiksi kannattaako korttipelissä ottaa riski voiton puolesta, vai kannattaisiko kuitenkin peli lopettaa ennen mahdollista häviötä. Klassista todennäköisyyttä voidaan käyttää hyväksi muun muassa nopan heitossa, kolikon heitossa, ruletin pyörityksessä, lottoarvonnassa, kortin nostossa jne. Todennäköisyyslaskennan ajatus onkin tullut alkujaan uhkapeleistä, jossa on haluttu kasvattaa voiton todennäköisyyttä. Nykyisin todennäköisyyslaskentaan sovelletaan useilla tieteenaloilla kuten tilastotieteessä, tietojenkäsittelytieteessä ja taloustutkimuksessa.

Klassinen todennäköisyys tapahtumalle voitaisiin määritellä näin (Pierre-Simon Laplace, 1812, Théorie analytique des probabilités): ”Tapahtuman todennäköisyys on tapahtumaan liittyvien suotuisien tapauksien lukumäärän suhde kaikkien mahdollisten tapauksien lukumäärään, kunhan voidaan olettaa, ettei mikään tapaus ole yleisempi kuin toinen.”

Klassisella todennäköisyydellä on tiettyjä tunnusmerkkejä:

  • tapahtuma on satunnainen;
  • jokaisella lopputuloksella on yhtä suuri todennäköisyys toteutua;
  • tulos on jokin ennalta määritellyistä vaihtoehdoista;
  • vain yksi lopputuloksista toteutuu.

Termejä, joita tarvitaan todennäköisyyksiä laskettaessa:

Alkeistapaus
Satunnaisilmiön mahdollinen lopputulos. Esimerkiksi noppaa heitettäessä ”silmäluku 2” on eräs kuudesta erilaisesta alkeistapauksesta, ja kortinnostossa jokainen nostettu kortti on eräs 52:sta erilaisesta alkeistapauksesta.
Tapahtuma
Alkeistapauksien joukko, jolle voidaan määrittää todennäköisyys. Kaikkien alkeistapauksien joukkoa kutsutaan perusjoukoksi. Esimerkiksi nopanheitossa silmäluvut \(\{1,2,3,4,5,6\}\) muodostavat perusjoukon, jonka parittomista silmäluvuista koostuva osajoukko \(\{1,3,5\}\) muodostaa tapahtuman. Kortinnostossa kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon, jolla on pata-korteista koostuva osajoukko eli tapahtuma.
Suotuisa alkeistapaus
Sellainen alkeistapaus, joka toteuttaa tapahtuman (eli kuuluu kyseiseen perusjoukon osajoukkoon). Esimerkiksi nopan heitossa alkeistapaus ”silmäluku 5” on suotuisa alkeistapaus parittomien silmälukujen muodostamalle tapahtumalle.

Matemaattisesti klassinen todennäköisyys \(P(A)\) tapahtumalle \(A\) lasketaan kaavalla
\[P(A) = \frac{\text{suotuisien alkeistapausten lukumäärä}}{\text{kaikkien alkeistapausten lukumäärä}}.\]

Esimerkki 1. Nopan heitossa mahdollisia tuloksia ovat nopan silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Kaikki kuusi alkeistapahtumaa ovat yhtä todennäköisiä muodostaen perusjoukon, joka merkitään \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\). Perusjoukossa on \(|\Omega|=6\) alkiota. Tapahtumassa \(A=\{1,3,5\}\) ”heitetään pariton luku” on puolestaan \(|A|=3\) alkiota:

Nyt todennäköisyys saada pariton luku on
\[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\, . \]

Esimerkki 2. Korttipakassa on 52 korttia (ilman jokereita). Maita on neljä: risti, ruutu, hertta ja pata. Hertta ja ruutu ovat punaisia, pata ja risti mustia. Jokaisessa maassa on 13 korttia: ässä (A), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, jätkä (J), akka (Q), kuningas (K).

Millä todennäköisyydellä satunnaisesti pakasta nostettu kortti on (a) hertta; (b) kuvakortti; (c) patakymppi (d) pata tai kymppi?

Ratkaisu. (a) Nyt perusjoukossa \(\Omega\) on alkioita \(|\Omega|=52\). Tapahtumassa ”hertta” on puolestaan 13 alkiota. Näin ollen todennäköisyys nostaa pakasta hertta on
\[ P(\text{”hertta”}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25\, . \]

(b) Kuvakorteiksi lasketaan korttipakassa J, Q ja K. Näin ollen kuvakortteja on 12 kappaletta. Näin ollen todennäköisyys nostaa pakasta kuvakortti on
\[ P(\text{”kuvakortti”}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13} \approx 0.231\, . \]

(c) Korttipakassa on vain yksi patakymppi, eli tapahtumassa on vain yksi alkeistapaus. Näin ollen todennäköisyys nostaa pakasta patakymppi on
\[ P(\text{”patakymppi”}) = \frac{1}{52} \approx 0.019\, . \]

(d) Pakassa on 13 pataa ja neljä kymppiä. Yksi korteista (patakymppi) on sekä pata että kymppi, joten tapahtuman alkeistapauksissa pitää muistaa laskea patakymppi mukaan vain kerran. Suotuisien tapahtumien määrä on siis \(13+4 -1 = 16\). Näin ollen todennäköisyys nostaa pakasta patakymppi on
\[ P(\text{”pata tai kymppi”}) = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0.308\, . \]

Riippumattomat tapahtumat

Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia keskenään silloin, kun niiden tapahtumistodennäköisyys ei riipu siitä tapahtuuko toinen asia. Tätä merkitään \(A\perp B\). Riippumattomat tapahtumat \(A\) ja \(B\) toteuttavat laskusäännöt:
\[\begin{aligned} P(\text{\(A\) ja \(B\)}) & = P(A) \cdot P(B),\\
P(\text{\(A\) tai \(B\)}) & = P(A) + P(B) \, – P(\text{\(A\) ja \(B\)}) \end{aligned}\]
Jälkimmäisessä kaavassa täytyy vähentää tapahtumien \(A\) ja \(B\) yhtä aikaa tapahtuminen samalla tavalla kuin aiemmassa esimerkissä ”pata tai kymppi” piti vähentää kaksi kertaa laskettava kortti patakymppi.

Esimerkki 3. Martti heittää noppaa ja Risto kolikkoa. Tarkastellaan tapahtumia A=”Martti saa kakkosen” ja B=”Risto saa klaavan”. Tapahtumat ovat riippumattomia ja niiden todennäköisyydet ovat \(P(A)=1/6\) ja \(P(B)=1/2\). Näin ollen
\[\begin{aligned} P(\text{\(A\) ja \(B\)}) & = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \approx 0.083,\\
P(\text{\(A\) tai \(B\)}) & = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \, – \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \approx 0.583\, .\end{aligned}\]

Komplementti

Aiemmassa esimerkissä laskettiin Martin todennäköisyyttä saada nopan heitolla silmäluvuksi kakkonen. Jos haluammekin laskea todennäköisyyden sille, että Martti EI saa kakkosta, voimme käyttää tapahtuman komplementtia. Tapahtuman \(C\) komplementti on tapahtuma \(\neg C\), joka sisältää kaikki ne perusjoukon alkeistapaukset, jotka eivät kuulu tapahtumaan \(C\).

Jokainen yksittäinen alkeistapaus toteuttaa aina joko tapahtuman \(C\) tai tapahtuman \(C\) komplementin. Toisin sanoen edeltävässä nopanheitto-esimerkissä Martin heittämän nopan silmäluku kuuluu joko joukkoon \(\{2\}\) tai tämän komplementtiin \(\{1, 3, 4, 5, 6\}\). Nämä kaksi perusjoukon osajoukkoa muodostavat kaikkien nopanheiton alkeistapausten joukon eli perusjoukon \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Yleisesti pätee \(P(C) + P(\neg C) = 1\).

Mahdoton ja varma tapahtuma

Mahdotonta tapahtumaa kuvaa tyhjä joukko, joka matemaattisessa mielessä ajateltuna on perusjoukon osajoukko. Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Varma tapahtuma sisältää puolestaan kaikki perusjoukon alkiot. Varman tapahtuman todennäköisyys on yksi.

Jokaisen tapahtuman \(A\) todennäköisyys toteuttaa aina epäyhtälöt \(0\leq P(A) \leq 1\).