Funktioiden kuvaajat

Funktioiden kuvaajat

Funktion kuvaajat havainnollistavat funktion käyttäytymistä. Kuvaajat ovat matemaatikoille tärkeitä työkaluja!

Trigonometriset funktiot ja niiden käänteisfunktiot

Trigonometriset funktiot määritellään yleensä suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan myös määritellä käyttämällä yksikköympyrää. Molemmat lähestymistavat on esitelty tarkemmin Trigonometria-alisivulla.

Nyt voimme laskea esimerkiksi kosinin arvoja tietyillä kulmilla ja sijoittaa nämä arvot \(xy\)-koordinaatiston pisteiksi. Kun pisteitä lasketaan äärettömän tihein välein ne muodostavat kuvaajan. Sinin ja kosinin arvot vaihtelevat välillä \([-1,1]\). Ne ovat myös jaksollisia funktiota, joka tarkoittaa, että niiden arvot ovat aina samat tietyn jakson välein. Näille funktioille jakso on \(2\pi\) (radiaanein ilmaistuna).

Vasemmanpuoleiseen alla olevaan kuvaan on piirretty funktio \( \tan : (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}\), eli tangentin rajoittuma avoimelle välille \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Vaikka tangenttifunktiolla ei yleisesti ottaen olekaan käänteisfunktiota, tällä tangenttifunktion rajoittumalla on käänteisfunktio \(\arctan: \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \). Tätä funktiota kutsutaan arkustangentiksi. Oikeanpuoleiseen alla olevaan kuvaan on piirretty sinin rajoittuman \( \sin : (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \to (-1,1)\) ja kosinin rajoittuman \( \cos : (0,\pi) \to (-1,1)\) käänteisfunktiot, eli arkussini \( \arcsin : (-1,1) \to (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) ja arkuskosini \( \arccos : (-1,1) \to (0,\pi)\).

        

Arkustangentin \(\arctan: \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \) kuvaajalla on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia. Arkussinistä ja arkuskosinista poiketen arkustangentti on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Vaikka arkustangentti on aidosti kasvava funktio, se on silti rajoitettu! Vaakasuorat \(y=\pm\frac{\pi}{2}\) ovat vaaka-asymptootteja.

Eksponentti- ja logaritmifunktio

Luonnollinen eksponenttifunktio \(e^x: \mathbb{R} \to (0,\infty)\) ja luonnollinen logaritmifunktio \(\ln x : (0,\infty) \to \mathbb{R}\) ovat toistensa käänteisfunktiota. Tämä ominaisuus on myös nähtävissä kuvasta – nämä funktiot ovat symmetrisiä (kuvassa katkoviivaisen) suoran \(y=x\) suhteen!

Potenssifunktio

Oheiseen kuvaan on hahmoteltu funktion \(\, f:[0,1]\to [0,1]\), \[f(x)=x^p,\] kuvaajia parametrin \(p>0\) eri arvoilla. Kuvan perusteella parametrejä \(p\) ja \(\frac{1}{p}\) vastaavat kuvaajat ovat symmetrisiä suoran \(y=x\) suhteen. Kyse on funktiosta ja sen käänteisfunktiosta!

Riippumatta parametrin \(p\) arvosta, jokainen kuvaaja kulkee sekä origon \((0,0)\) että tasopisteen \((1,1)\) kautta. Parametrin \(p\) arvolla on kuitenkin suuri merkitys siihen, miten \(f(x)=x^p\) käyttäytyy.

 

Monotonisuus ja kuperuus

Jos derivoituvan funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on funktio silloin kasvava. Kuvassa sininen ja musta kuvaaja ovat tällaisia. Mikäli derivaatta on negatiivinen, on funktio silloin vähenevä. Kuvassa punainen ja harmaa kuvaaja väheneviä.

Jos kaksi kertaa derivoituvan funktion toisen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on kyseessä konveksi funktio, kuten harmaa ja musta kuvaaja. Jos funktion toisen kertaluvun derivaatta on negatiivinen, on kyseessä konkaavi funktio, kuten sininen ja punainen kuvaaja.

 

Skaalaus

Olkoon \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) funktio. Tämän funktion määrittelyjoukko on suljettu väli \([a,b]\). Jos informaatio halutaan siirtää välille \([c,d]\), voidaan skaalaukseen käyttää apufunktiota \[ \varphi(x) = a + (x-c) \, \frac{b-a}{d-c}, \quad c\leq x \leq d.\] Nyt \(\varphi: [c,d] \to [a,b]\) muodostaa yksi-yhteen vastaavuuden joukolta \([c,d]\) joukolle \([a,b]\). Erityisesti \(\varphi(c)=a\) ja \(\varphi(d) = b\). Tällöin voidaan määritellä funktio \(f \circ \varphi : [c,d] \to \mathbb{R}\), missä \[(f\circ \varphi)(x) = f\big(\varphi(x)\big) = f\left( a + (x-c) \, \frac{b-a}{d-c}\right), \quad c\leq x \leq d.\]

Tarkastellaan lopuksi konkreettista esimerkkiä. Jos \( f: [0,15] \to \mathbb{R}\) on alla olevassa kuvassa oleva vihreä funktio \(f(x)=\sin x\), niin muunnoksella \(\varphi: [5,10] \to [0,15]\), \(\varphi(x)=3(x-5)\), saadaan punainen funktio \( f\circ \varphi : [5,10] \to \mathbb{R}\), joka voidaan esittää kaavalla \((f\circ \varphi)(x)=\sin(3(x-5))\).