Geometriset konstruktiot

Geometriset konstruktiot

Tarkastelemme erilaisten geometristen objektien konstruoimista vain harppia ja viivainta apuna käyttäen. Konstruktioissa harppi ja viivain ovat idealisoituja työkaluja, joiden käyttäminen täyttää Eukleideen ensimmäisen kolmen aksiooman (ristiriidaton perusoletus, jonka paikkansapitävyys on ilmeistä) vaatimukset. Eukleideen kolme ensimmäistä aksioomaa:

(i) Minkä tahansa kahden pisteen väliin voidaan piirtää jana.
(ii) Mikä tahansa jana voidaan jatkaa äärettömäksi suoraksi.
(iii) Mille tahansa janalle voidaan piirtää ympyrä siten, että jana on ympyrän säde ja janan toinen päätepiste on ympyrän keskipiste.

Viivaimen, kynän ja harpin avulla voit itsekin tehdä kotona seuraavat konstruktiot!

Janan AB puolittaminen kahteen yhtä pitkään osaan

Jana voidaan puolittaa helposti piirtämällä sen päätepisteisiin ympyrät, jotka leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä ja joilla on sama säde. Tämän jälkeen piirretään suora näiden leikkauspisteiden välille. Tämä piirretty suora puolittaa janan.

Suoran normaali

Kun jana puolitetaan yllä mainitulla konstruktiolla, niin muodostamme janalle \(AB\) normaalin \(OC\). Tällöin suorien \(OC\) ja \(AB\) välinen kulma on \(90\) astetta tai \(\frac{\pi}{2}\) radiaaneissa ilmaistuna. Tässä tapauksessa normaalia kutsutaan keskinormaaliksi, sillä se on kohtisuorassa janaa \(AB\) vastaan, mutta myös sen keskellä.

Yhdensuuntainen suora

Tarkastellaan annettua suoraa. Alkuperäiselle suoralle yhdensuuntainen suora, eli suora joka ei koskaan leikkaa alkuperäisestä suoraa, saadaan piirtämällä ympyrä, jonka keskipiste on alkuperäisellä suoralla. Ympyrän ja suoran kumpaankin leikkauspisteeseen piirretään vielä ympyrät, jotka leikkaavat ensiksi piirretyn ympyrän kanssa. Näiden ympyröiden leikkauspisteiden avulla saamme yhdensuuntaisen suoran konstruoitua. Ensimmäisen ympyrän ei tarvitse olla saman säteinen, kuin muut ympyrät, mutta kahden jälkimmäiseksi piirretyn ympyrän pitää olla keskenään samasäteisiä.

Kulman puolittaminen

Kulma saadaan puolitettua piirtämällä ympyrän kaari kulman kärkipisteestä siten, että se leikkaa kulman kummankin sivun. Kummastakin näistä äsken saaduista pisteistä piirretään ympyrän kaari kulman keskelle. Näiden kahden kaaren leikkauspisteestä saadaan kulman puolittaja, kun leikkauspisteestä piirretään suora kulman kärkeen.

 

Aritmeettiset operaatiot \(x+y\) ja \(x-y\)

Ympyrän ja suoran avulla voidaan myös laskea yhteen- ja vähennyslaskuja. Valitaan suoralta origo. Origon ja pisteen \(y\) välinen etäisyys otetaan ympyrän säteeksi ja piirretään ympyrä keskipisteenä \(x\). Ympyrän ja suoran leikkauspisteistä saadaan \(x-y\) ja \(x+y\).

Tulo \(x\cdot y\) ja osamäärä \(\frac{y}{x}\)

Oletetaan, että \(x\) ja \(y\) ovat positiivisia reaalilukuja. Keksitkö miten suoritetaan geometrinen kertolasku \(x\cdot y\) ja geometrinen jakolasku \(\frac{y}{x}\)?

Vinkki: Geometrinen kertolasku ja jakolasku voidaan perustella suorakulmaisen kolmion geometrialla. Tarkastele kuvassa olevia suorakulmaisia kolmioita, joiden hypotenuusat ovat vaaka-akselilla ja joilla on yksi keltainen ja yksi musta kateetti.

 

Suoran kulman jakaminen kolmeen yhtä suureen kulmaan

Saamme jaettua suoran kulman kolmeen yhtä suureen kulmaan piirtämällä ympyrän, jonka keskipiste on suoran kulman kärki. Tämän jälkeen suoran kulman sivujen ja ympyrän leikkauspisteistä piirretään kulman keskelle ympyrän kaaret. Ympyrän kaarien ja ensiksi piirretyn ympyrän leikkauspisteistä saadaan kulman jakajat. Kaikkien kolmen ympyrän osien säde täytyy olla sama, mutta säteen voi valita itse. Näin saamme kolme kulmaa, jotka jokainen ovat 30 astetta.

 

Tasakylkinen kolmio

Piirretään suoralle piste ja tähän pisteeseen ympyrä. Ympyrän ja suoran toiseen leikkauspisteeseen piirretään toinen samalla säteellä oleva ympyrä. Näiden ympyröiden leikkauspisteisiin piirretään jana. Yhdistetään vielä äsken muodostetun janan päät ympyrän ja suoran toisen leikkauspisteen kanssa ja saamme ympyrän sisälle konstruoitua tasakylkisen kolmion.

Neliö

Tehdään suora, jolle konstruoidaan normaali aiemmin opitulla tavalla. Piirretään suoran ja sen normaalin leikkauspisteeseen ympyrä. Suoran ja normaalin ympyrää leikkaavat pisteet yhdistetään janoilla ja saamme neliön konstruoitua.

Kuusikulmio eli hexagoni

Kuusikulmion konstruointi alkaa ympyrän piirtämisestä. Valitaan ympyrän kehältä satunnainen piste ja piirretään samasäteinen ympyrä valittuun pisteeseen. Siirrytään piirtämään uusi ympyrä äsken muodostuneeseen leikkauspisteeseen. Toistetaan tätä niin kauan, että palataan alkupisteeseen. Tämän jälkeen yhdistetään ympyröiden leikkauspisteet ja kuusikulmio on valmis.

Viisikulmio eli pentagoni

Myös viisikulmion voi konstruoida pelkällä harpilla ja viivaimella. Seuraa ohjeita ja alla olevaa kuvaa.

  1. Piirretään suora.
  2. Sijoitetaan suoralle pisteet \(P_1\) ja \(P_2\). Näiden pisteiden välinen etäisyys määrää viisikulmion koon.
  3. Aiemmin opitulla tavalla konstruoidaan pisteiden \(P_1\) ja \(P_2\) kautta kulkevalle suoralle keskinormaali. Tästä saadaan piste \(M\).
  4. Konstruoidaan pisteeseen \(P_2\) normaali kohdassa yksi piirretylle suoralle (toisin sanoen yhdensuuntainen suora kohdan 3 keskinormaalille).
  5. Tehdään pisteeseen \(P_2\) ympyrä, jonka säde on pisteiden \(P_1\) ja \(P_2\) välinen etäisyys. Nimetään kohdan neljä normaalin ja äsken piirretyn ympyrän leikkauspiste pisteeksi \(P\).
  6. Piirretään pisteeseen \(P_1\) ympyrä, jonka säde on pisteiden \(P_1\) ja \(P\) välinen etäisyys. Nimetään tämän ympyrän ja kohdan yksi suoran leikkauspiste pisteeksi \(Q\).
  7. Tehdään kaksi ympyrää, joiden molempien säde on pisteiden \(P_1\) ja \(Q\) välinen etäisyys ja joiden keskipisteet ovat \(P_1\) ja \(P_2\).
  8. Tehdään ympyrä pisteeseen \(P_1\), jonka säde on pisteiden \(P_1\) ja \(P_2\) välinen etäisyys.
  9. Nimetään kohdassa seitsemän tehtyjen ympyröiden ja kohdan kolme keskinormaalin leikkauspiste pisteeksi \(P_3\).
  10. Nimetään kohdassa seitsemän ja kahdeksan tehtyjen ympyröiden leikkauspiste pisteeksi \(P_4\).
  11. Nimetään kohdassa viisi ja seitsemän tehtyjen ympyröiden leikkauspiste pisteeksi \(P_5\).
  12. Yhdistetään pisteet \(P_1, P_2, P_3, P_4, P_5\) janoilla.