Kolmiot

Morleyn kolmio

Kolmioiden geometria pitää sisällään toinen toistaan mielenkiintoisempi tuloksia. Seuraavaksi pääset tutustumaan matemaatikkoja jo yli vuosisadan kiehtoneeseen havaintoon, jonka algebrallisen geometrian taitaja, Frank Morley, toi julki vuonna 1904. Voit havaita tämän kyseisen ilmiön aivan itse. Kokeile vaikka!

  1. Piirrä ensin kolmio. Kolmio saa olla ihan millainen vain; teräväkulmainen, tylppäkulmainen tai suorakulmainen.
  2. Jaa kolmiosi kulmat kolmeen osaan. Voit tehdä tämän esimerkiksi mittaamalla kolmiosi kulmat ja jakamalla saamasi mitat kolmella. Piirrä tämän jälkeen kulman kolmijakajat näkyviin.
  3. Merkitse kolmijakajien leikkauspisteet näkyviin.
  4. Yhdistä leikkauspisteet janoilla.

Mitä huomasit? Millainen kuvio muodostui? Mikäli piirsit kuvion oikein, kolmijakajien leikkauspisteet yhdistämällä pitäisi muodostua tasasivuinen kolmio. Tätä tasasivuista kolmiota kutsutaan Morleyn kolmioksi.

Morleyn kolmion painopistettä kutsutaan Morleyn ensimmäiseksi pisteeksi (kuvassa \(M_1\)):

Morleyn toinen piste (kuvassa \(M_2\)) syntyy, kun alkuperäisen piirretyn kolmion kärjistä piirretyt janat tasasivuisen kolmion kauimmaisiin kärkiin leikkaavat toisensa.

Nämä kaksi pistettä kuuluvat kolmion merkillisiin pisteisiin, joita on olemassa yhteensä yli 5000!

Eikä tässä vielä kaikki! Nimittäin tämän yksinkertaisimman tapauksen lisäksi voidaan ottaa huomioon kaikki eri tavat jakaa kolmion (hieman alempana olevassa kuvassa sinireunainen kolmio \(ABC\)) kulmat kolmeen osaan. Kolmion sisäkulmien jakamisen lisäksi voidaan nimittäin jakaa myös kolmion ulkokulmat ja eksplementtikulmat (katso kuva) kolmeen osaan.

Tällöin muodostuu…osaatko laskea kuvasta, kuinka monta tasasivuista kolmiota?

Vastaus on 27 tasasivuista kolmiota, joista 18 on Morleyn kolmioita eli muodostuvat kolmijakajien leikkauspisteet yhdistämällä. Taulukossa löydetyt Morleyn kolmiot:

Kolmijakajatyypit Muodostuneet tasasivuiset kolmiot
Kaikki samaa tyyppiä \(xyz\), \(\xi\eta\psi\), \(XYZ\)
Kaikki eri tyyppiä tyyppiä \(x’\eta’Z’\), \(\xi’Y’z’\), \(X’y’\psi’\), \(\xi’ ’ y’ ’Z’ ’\), \(X’ ’\eta’ ’z’ ’\), \(x’ ’Y’ ’\psi’ ’\)
Kaksi sisä- ja yksi eksplementtijakaja \(xy’ ’z’\), \(x’yz’ ’\), \(x’ ’y’z\)
Kaksi ulko- ja yksi sisäjakaja \(\xi\eta’ ’\psi’\), \(\xi’\eta\psi’ ’\), \(\xi’ ’\eta’\psi\)
Kaksi eksplementti- ja yksi ulkojakaja \(X’ ’Y’Z\), \(XY’ ’ Z’\), \(X’YZ’ ’\)

Seuraavaksi pääset tutustumaan todistukseen, jonka avulla todistetaan Morleyn tekemä havainto kolmijakajien muodostamasta tasasivuisesta kolmiosta. Todistus mukailee John Conwayn vuonna 1995 esittämää todistusta, jonka visuaalisuus ja lyhyys tekee siitä helposti ymmärrettävän. Todistus kuuluu seuraavasti:

Olkoon kolmion \(ABC\) kulmat suuruudeltaan \(3\alpha\), \(3\beta\) ja \(3\gamma\). Käytetään apuna merkintää \(x^* = x + 60^\circ\). Sillä \(3\alpha + 3\beta + 3\gamma = 180^\circ\), niin \(\alpha + \beta + \gamma = 60^\circ\). Nyt on mahdollista muodostaa seitsemän kolmiota seuraavasti:

  • Tasasivuinen kolmio, jonka kulmat ovat suuruudeltaan \(0^*, 0^*, 0^*\). Skaalauksen kautta voidaan olettaa, että tämän kolmion sivut ovat pituudeltaan yksi.
  • Kolmiot, joiden kulmien suuruudet ovat \(\alpha, \beta^*, \gamma^*\) ja \(\alpha^*, \beta, \gamma^*\) sekä \(\alpha^*, \beta^*, \gamma\)
  • Kolmiot, joiden kulmien suuruudet ovat \(\alpha^{**}, \beta, \gamma\) ja \(\alpha, \beta^{**}, \gamma\) sekä \(\alpha, \beta, \gamma^{**}\)

Skaalataan sitten janojen \(SR\), \(TR\), \(UQ\), \(VQ\), \(ZP\) ja \(YP\) pituudet vastaamaan tasasivuisen kolmion \(QRP\) sivujen pituuksia (\(=1\)).

Kuten kuvasta voidaan havaita, seitsemän kolmiota muodostavat yhdessä kolmion \(ABC\) ja sopivat täydellisesti yhteen.

Kolmioiden yhteensopivuus voidaan osoittaa tarkastelemalla (yksityiskohdat ohitetaan)

  • keskellä olevan tasasivuisen kolmion kärkikulmien ympärillä olevia kulmia ja havaitsemalla, että ne muodostavat täysikulman (\(360^\circ\));
  • kolmioiden sivujen yhteensopivuutta.

Näin ollen kolmiot muodostavat kuvion, jossa keskellä on tasasivuinen kolmio, joka muodostuu kolmion \(ABC\) kulmien kolmijakajien leikkauspisteet yhdistämällä.