Trigonometria

Trigonometria

Sanan trigonometria merkityksen voi löytää antiikan kreikan kielestä, jossa sana trigonos merkitsi kolmekulmaista ja métron mittaamista. Muun muassa näistä asioista trigonometriassa on kyse.

Trigonometrian avulla voidaan ratkaista kolmion kulmiin ja sivujen pituuksiin liittyviä ongelmia, millä oli aikoinaan hyvin suuri merkitys erityisesti tähtitieteessä. Nykyisin trigonometrian sovelluksia tarvitaan myös esimerkiksi arkkitehtuurissa, aaltoliikkeen mallinnuksessa ja sähköopissa.

Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka sivuja merkitään kirjaimilla \(a\), \(b\) ja \(c\). Alla olevissa kaavoissa samoilla kirjaimilla viitataan myös näiden sivujen pituuksiin. Olkoon sivun \(a\) vastainen kulma \(\alpha\in (0,\frac{\pi}{2})\). Suorakulmaisen kolmion lyhyitä sivuja \(a\) ja \(b\) kutsutaan kateeteiksi ja pitkää sivua \(c\) hypotenuusaksi. Nyt voidaan muodostaa erilaisia trigonometrisia suhteita:

Nimi Merkintä Suhde
Sini \(\sin \alpha \) \(\frac{a}{c}\)
Kosini \(\cos \alpha \) \(\frac{b}{c}\)
Tangentti \(\tan \alpha \) \(\frac{a}{b}\)

Esimerkiksi kulman \(\alpha\) kosini (eli komplementtikulman sini) saadaan, kun jaetaan kulman \(\alpha\) viereisen kateetin pituus hypotenuusan pituudella. Koska \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\), niin \(a=c \sin\alpha\). Vastaavasti päätellään, että \(b=c \cos \alpha\). Näin ollen kulman \(\alpha\) tangentille pätee \[\tan\alpha = \frac{a}{b}=\frac{c \sin\alpha}{c \cos \alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos \alpha}.\]

Näille suhteille on olemassa myös käänteisluvut.

Nimi Merkintä Suhde
Kosekantti \(\csc \alpha \) \(\frac{c}{a}\)
Sekantti \(\sec \alpha \) \(\frac{c}{b}\)
Kotangentti \(\cot \alpha \) \(\frac{b}{a}\)

Yksikköympyräesitys

Apuna trigonometristen funktioiden määrittelyssä voidaan käyttää yksikköympyrää, eli sellaista origokeskistä ympyrää, jonka säde on yksi. Piirretään puolisuora, joka lähtee origosta ja joka muodostaa kulman \(\alpha\) positiivisen \(x\)-akselin kanssa. Suora leikkaa yksikköympyrän pisteessä \((b,a)\). Sovitaan, että vastapäivään kierrettäessä kulma on positiivinen ja myötäpäivään negatiivinen.

Kuvan yksikköympyrän sisälle on piirretty suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on yksi ja jonka toinen kateetti sijaitsee \(x\)-akselilla. Toinen kateetti on puolestaan kohtisuorassa \(x\)-akselia vastaan. Tällöin \[\sin\alpha = \frac{a}{1}=a \quad \text{ja} \quad \cos\alpha=\frac{b}{1}=b.\] Nyt yksikköympyrän kehäpiste voidaan kirjoittaa muodossa \((b,a)=(\cos\alpha,\sin\alpha)\). Itseasiassa, tämän esityksen avulla sini ja kosini voidaan määritellä mille hyvänsä kulmalle \(\alpha\in\mathbb{R}\), kun taas sivun ylälaidassa ollut suorakulmaisen kolmion avulla tehty määritelmä soveltuu vain kulmille \(\alpha\in (0,\frac{\pi}{2})\). Näin laajennetut trigonometriset funktiot ovat selvästi jaksollisia: \[\sin\alpha=\sin(\alpha+2\pi), \quad \cos\alpha=\cos(\alpha+2\pi), \quad \tan\alpha=\tan(\alpha+\pi), \quad \alpha\in\mathbb{R}.\]


Huomaa, että tangentti \(\tan\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) on määritelty vain silloin, kun kosini on nollasta poikkeava. Nyt \[\cos\alpha = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha=\frac{\pi}{2} + n\cdot \pi, \quad n\in\mathbb{Z},\] mikä vastaa yksikköympyräesityksessä niitä tapauksia, jossa yksikköympyrän kehäpiste on kehän ”ylin” tai ”alin” piste. Sinin ja kosinin arvojoukko on selvästi \( [-1,1] \). Tangentin arvojoukko on koko \(\mathbb{R}\). Tämä väite on triviaali, kun tangentin arvo sijoitetaan yksikköympyrä-kuvaan.

Laajennetaan yksikköympyräesityksessä oleva origosta lähtevä puolisuora origon kautta kulkevaksi suoraksi. Sellaisen pisteen \(C\) koordinaatit, jossa origon kautta kulkeva suora leikkaa pystysuoran \(x=1\), ovat \(C=(1,\tan\alpha)\). Osaatko perustella tämän seikan?

Tarkastellaan vielä yksikköympyräesitystä. Tutun Pythagoraan lauseen mukaan \[a^2 + b^2 = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin^2 \alpha + \cos^2\alpha = 1,\] joka tunnetaan Pythagoraan lauseena trigonometrisille funktioille. Tässä \(\sin^2\alpha = (\sin\alpha)^2\) ja kosinia koskeva merkintä ymmärretään vastaavasti.

Yksikköympyräesityksestä on mahdollista löytää myös seuraavat yhteydet: \[ \begin{aligned}\sin(\pi – \alpha) & = \sin\alpha, & \sin(-\alpha) & =-\sin(\alpha),\\ \cos(\pi – \alpha) & = -\cos\alpha, & \cos(-\alpha) & =\cos(\alpha). \end{aligned}\] Näissä kaavoissa esiintyviä kulmia on havainnollistettu oheisissa kuvissa.

Muistikolmiot

Trigonometristen funktioiden arvojen muistamiseen on olemassa niin sanonut muistikolmiot, jotka ovat esitetty oheisissa kuvissa.

        

Taulukkoon on koottu yksikköympyrästä ja muistikolmioista saatavia tietoja.

Funktio \\ kulma \(\alpha\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin\alpha\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
\(\cos\alpha\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)

Sini- ja kosinilause

Siniä ja kosinia voidaan soveltaa myös sellaisissa tilanteissa, joissa kolmio ei ole suorakulmainen.

Sinilauseen mukaan \[\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c},\] jonka avulla voidaan määrittää kolmion sivun pituus tai kulman suuruus silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin ”vastakkainen sivu – vastakkainen kulma” -pareista.

Kosinilauseen perusteella \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos\alpha\), mikä on Pythagoraan lauseen laajennus ei-suorakulmaisille kolmioille.

Hyödyllisiä kaavoja

Trigonometrisille funktioille on valtava määrä erilaisia kaavoja. Esimerkiksi summakaavat \[ \begin{aligned} \sin(\alpha \pm \beta) & = \sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha \pm \beta) & = \cos\alpha \cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta,\\ \tan(\alpha\pm\beta) & = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta},\end{aligned}\] potenssikaavat \[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \big( 1 – \cos(2\alpha) \big), \quad \cos^2\alpha = \frac{1}{2} \big( 1 + \cos(2\alpha) \big),\] ja kaksinkertaisten kulmien kaavat \[ \begin{aligned} \sin(2\alpha) & = 2\sin\alpha \cos\alpha,\\ \cos(2\alpha) & = 2\cos^2\alpha -1,\\ \tan(2\alpha) & = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}.\end{aligned}\]

Huom! Summakaavat redusoituvat kaksinkertaisen kulman kaavoiksi valinnalla \(\beta=\alpha\). Kokeile vaikka itse!