Kartta

Etäisyys maan pintaa pitkin

Vektoreiden avulla voi suoraviivaisesti ratkaista sellaisia ongelmia, joiden ratkaiseminen muuten olisi kovin monimutkaista.

Eräs esimerkki on kahden eri puolilla maapalloa olevan kaupungin välisen etäisyyden laskeminen. Etäisyys osataan laskea, jos osataan esittää kaupungit vektoreina, osataan laskea vektorien välinen kulma ja tunnetaan maapallon säde. Tutki oheista dynaamista kuviota.

Esimerkki. Helsingin maantieteelliset koordinaatit ovat noin \(\varphi = 60.1^\circ\) ja \(\theta=24.6^\circ\), ja Tokion \(\varphi = 35.4^\circ\) ja \(\theta=139.4^\circ\). Käyttämällä pallokoordinaatteja \[\begin{cases} x = R \cos\varphi\cos\theta,\\ y = R\cos\varphi\sin\theta,\\ z = R\sin\varphi,\end{cases}\] missä \(R=6371 \, \textrm{(km)}\) on maan säde, saadaan Helsinkiä ja Tokiota (karkeasti) esittävät vektorit \[\mathbf{v}_H = (2888, 1322, 5523), \quad \mathbf{v}_T = (-3943, 3380, 3690).\] Vektorien pistetulo on \[\mathbf{v}_H \cdot \mathbf{v}_T = 2888 \cdot (-3943) + 1322\cdot 3380 + 5523\cdot 3690 = 13459524.\] Koska vektorit ovat maan keskipisteestä maan pinnalle, niin ne ovat maan säteen pituisia. Eli \(\|\mathbf{v}_H\| = \|\mathbf{v}_T\| = 6371\). Vektoreiden väliseksi kulmaksi saadaan \[\alpha = \arccos\left( \frac{\mathbf{v}_H \cdot \mathbf{v}_T}{\|\mathbf{v}_H\| \, \|\mathbf{v}_T\|}\right) = \arccos\left( \frac{13459524}{6371^2}\right) = 1.23 \, \text{(rad)} = 70.63^\circ.\] Maapallon pinnalla kulkevan isoympyrän kehän pituus on \(2\pi R = 40030\, \text{(km)}\). Kaupunkien välinen etäisyys on suoraan verrannollinen niiden väliseen kulmaan. Näin ollen \[\text{etäisyys(Helsinki,Tokio)} = 40030 \, \text{(km)} \cdot \frac{70.63^\circ}{360^\circ} = 7853 \, \text{(km)}.\] Internetin hakukoneen mukaan tämä on melko tarkkaan oikea etäisyys!