Derivaatta

Tällä alisivulla käsiteltävä derivaatan käsite on keskeinen lukion pitkässä matematiikassa. Kulmakertoimien ja tangenttisuorien yhtälöiden käsittely vaatii matemaattisen analyysin perusteiden hallintaa, mutta sivun lopussa esiteltävä differentiaalilaskennan väliarvolause on geometrisesti ilmeinen jo alakouluikäiselle lapselle. Tämä väliarvolause näyttelee matemaattisessa analyysissä keskeistä roolia.

Tarkastellaan funktion \(f \) käyttäytymistä kiinnitetyn pisteen \(x_0 \in\mathbb{R}\) ympäristössä. Pyritään löytämään suora (meille helposti hallittava otus), joka kuvaa parhaimmalla mahdollisella tavalla tätä (mahdollisesti hyvin monimutkaista ja hankalaa) funktiota tässä tarkastelupisteessä.

Funktion kuvaaja \(y=f(x)\) kulkee tasopisteen \(P=(x_0,f(x_0))\) kautta, joten myös approksimoivan suoran tulee luonnollisesti kulkea tämän tasopisteen kautta. Approksimoivan suoran tulee kuvata funktion kasvua ja sen kulmakerroin löydetäänkin sekanttien kulmakertoimien raja-arvona. Valitaan pisteen \(P\) läheltä toinen käyrälle kuuluva piste \(Q=(x_0+h,f(x_0+h))\), missä \(h\) on itseisarvoltaan pieni reaaliluku. Pisteiden \(P\) ja \(Q\) kautta kulkevan suoran (sekantin) kulmakerroin on \[\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{(x_0+h) – x_0} = \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}.\] Kun piste \(Q\) lähestyy pistettä \(P\) pitkin kuvaajaa \(y=f(x)\), niin sekantti muuttuu funktion \(f\) käyttäytymistä arvolla \(x=x_0\) parhaalla mahdollisella tavalla approksimoivaksi suoraksi, jota kutsutaan funktion \(f\) tangentiksi pisteessä \(P\). Tangentin kulmakerroin \(k\) löydetään siis raja-arvona \[k = \lim_{h\to 0} \, \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}. \tag{\(\star\)}\] Tangentin yhtälö on sellaisen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen \(P\) kautta ja jolla on kulmakerroin \(k\). Näin ollen tangentin yhtälöksi saadaan \[ y – f(x_0) = k (x-x_0).\]

Jos raja-arvo \((\star)\) on olemassa, ja sen lukuarvo on äärellinen, niin lukua \(k\) kutsutaan funktion \(f\) derivaataksi pisteessä \(x=x_0\) ja sitä merkitään symbolilla \(f'(x_0)\).

Derivaatan määritelmästä voidaan johtaa tutut derivointikaavat:

Funktion arvo pisteessä \(x\)	Derivaatan arvo pisteessä \(x\)
\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(f(x)\pm g(x)\)	\(f'(x) \pm g'(x)\)
\(f(x) g(x)\)	\(f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
\(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\)	\(\displaystyle\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)
\( (f\circ g)(x) = f(g(x))\)	\( f'(g(x)) \, g'(x)\)

Eräs reaalianalyysin kulmakiviä on differentiaalilaskennan väliarvolause. Jos derivoituvan funktion \(f\) kuvaajalta \( y=f(x)\) poimitaan pisteet \((a,f(a))\) ja \((b,f(b))\), niin pisteiden kautta kulkevan suoran (sekantin) kulmakerroin on \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\] mikä on funktion keskimääräinen kasvunopeus välillä \([a,b]\). Väliarvolauseen mukaan keskimääräinen kasvunopeus saavutetaan välillä \([a,b]\), eli on olemassa (ainakin yksi) piste \(c\in (a,b)\), jossa tangentin kulmakerroin on sama kuin keskimääräinen kasvunopeus.

Väliarvolause on geometrisesti ilmeinen. Käyrän pisteiden \((a,f(a))\) ja \((b,f(b))\) välissä täytyy olla piste, johon piirretty (kuvassa punainen) tangentti on (kuvassa sinisen) sekantin suuntainen. Intuitiivisesti tämä ominaisuus liittyy niihin pisteisiin, missä käyrä kääntyy kohti toista päätepistettä. Huomaa, että tällaisia pisteitä \(c\) voi olla useita!

Differentiaalilaskennan väliarvolause. Olkoon \(f\) jatkuva suljetulla välillä \([a,b]\) ja derivoituva avoimella välillä \((a,b)\). Tällöin on olemassa (ainakin yksi) sellainen piste \(c\in (a,b)\), että
\[
f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
\]

Väliarvolauseen erikoistapaus \(f(b)=f(a)\) ja \(f'(c)=0\) tunnetaan nimellä Rollen lause.