Geometriset todistukset

Geometrian avulla on mahdollista todistaa monia tunnettuja matemaattisia tuloksia.

Pythagoraan lause

Hyvin tunnetulle Pythagoraan lauseelle on olemassa useita erilaisia geometrisia todistuksia, joista tässä esitellään kaksi. Ensimmäisessä todistuksessa neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota on aseteltu kahdella eri tavalla neliöön, jonka sivun pituus on \(a+b\).

Kun molemmista neliöistä lasketaan peittämättä jääneen alueen pinta-ala, saadaan tuttu Pythagoraan lause \[a^2 + b^2 = c^2.\]

Pythagoraan lause on mahdollista todistaa myös oheisessa kuvassa esitetyn puolisuunnikkaan avulla. Puolisuunnikas koostuu kolmesta suorakulmaisesta kolmiosta. Puolisuunnikkaan pinta-ala on tunnetusti\[ \frac{a+b}{2} \cdot (a+b) = \frac{a^2+b^2 + 2ab}{2} = \frac{1}{2} (a^2 + b^2) + ab.\] Kolmioiden pinta-alojen summa on \[ 2 \cdot \frac{ab}{2} + \frac{c^2}{2} = ab + \frac{c^2}{2}.\] Koska pinta-alat ovat yhtä suuret, niin \[ \frac{1}{2} (a^2 + b^2) + ab = ab + \frac{c^2}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 + b^2 = c^2.\]

Kolmion kulmien summa

Geometrian avulla voidaan todistaa, että kolmion kulmien summa on \(180\) astetta. Todistuksessa kolmion kulmat ”leikataan irti” ja asetellaan vierekkäin samaan pisteeseen. Tällöin huomataan, että irtileikatuista kulmista muodostuu oikokulma. Väite seuraa, sillä oikokulman suuruus on 180 astetta. Kokeile tätä paperiarkin ja saksien kanssa!

Summakaavoja

Parittomien lukujen summakaava \[ 1+3+5+7+\dotsb + (2n-1)= n^2\] voidaan todistaa geometrisesti. Asetetaan ympyröitä summattavan lukumäärän mukaisesti ja huomataan, että niistä muodostuu neliömäinen muodostelma, josta parittomien lukujen summakaava voidaan lukea. Keksitkö miten?

Myös geometrinen sarja \[ \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^3 + \dotsb = \frac{1}{3} \] on mahdollista perustella geometrisesti. Piirretään tasasivuinen kolmio, jonka pinta-ala on yksi. Jaetaan alkuperäinen tasasivuinen kolmio neljään yhtä suureen kolmioon, jolloin jokaisen pienemmän kolmion pinta-ala on \(\frac{1}{4}\).

Jaetaan ylimmäinen näin muodostuneista pienemmistä kolmioista vastaavalla tavalla neljään yhtä suureen osaan. Näin muodostuneiden kolmioiden pinta-ala on \(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{16}\). Jatketaan tätä menettelytapaa. Alkuperäisen kolmion keskelle muodostuneen kolmiojonon pinta-alojen summa on siis \[ \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^3 + \dotsb .\]

Tarkastellaan sitten alkuperäiseen kolmioon muodostuneita vaakarivejä. Merkitään kunkin vaakarivin pinta-alaa \(T_n\), missä \(n\in\mathbb{N}\). Keskijonoon kuuluva värillinen kolmio kattaa aina kolmasosan koko vaakarivistä. Ensimmäiselle vaakariville kuuluva keskikolmio on pinta-alaltaan \(\frac{T_1}{3}\), toiselle vaakariville kuuluva \(\frac{T_2}{3}\) ja niin edelleen. Tämän perusteella keskijonon kolmioiden pinta-alojen summa on \[ \begin{aligned} & \frac{T_1}{3} + \frac{T_2}{3} + \frac{T_3}{3} + \dotsb\\ & \qquad = \frac{1}{3} \big( T_1 + T_2 + T_3 + \dotsb \big)\\ & \qquad = \frac{1}{3} \cdot \text{(alkuperäisen kolmion pinta-ala)}\\ & \qquad = \frac{1}{3}. \end{aligned} \] Yhdistämällä päättelyt saadaan kaava \[ \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^3 + \dotsb = \frac{1}{3}. \]