Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Kartta

Vektoreiden avulla voi suoraviivaisesti ratkaista sellaisia ongelmia, joiden ratkaiseminen muuten olisi kovin monimutkaista.

Eräs esimerkki on kahden eri puolilla maapalloa olevan kaupungin välisen etäisyyden laskeminen. Etäisyys osataan laskea, jos osataan esittää kaupungit vektoreina, osataan laskea vektorien välinen kulma ja tunnetaan maapallon säde. Tutki oheista dynaamista kuviota.

o+
a
b
Etäisyyksiä
maan pintaa pitkin: 8120 km
az = 0.54
el = 0.44
x
y
z
u
v

Esimerkki. Helsingin maantieteelliset koordinaatit ovat noin φ=60.1 ja θ=24.6, ja Tokion φ=35.4 ja θ=139.4. Käyttämällä pallokoordinaatteja {x=Rcosφcosθ,y=Rcosφsinθ,z=Rsinφ, missä R=6371(km) on maan säde, saadaan Helsinkiä ja Tokiota (karkeasti) esittävät vektorit vH=(2888,1322,5523),vT=(3943,3380,3690). Vektorien pistetulo on vHvT=2888(3943)+13223380+55233690=13459524. Koska vektorit ovat maan keskipisteestä maan pinnalle, niin ne ovat maan säteen pituisia. Eli vH=vT=6371. Vektoreiden väliseksi kulmaksi saadaan α=arccos(vHvTvHvT)=arccos(1345952463712)=1.23(rad)=70.63. Maapallon pinnalla kulkevan isoympyrän kehän pituus on 2πR=40030(km). Kaupunkien välinen etäisyys on suoraan verrannollinen niiden väliseen kulmaan. Näin ollen etäisyys(Helsinki,Tokio)=40030(km)70.63360=7853(km). Internetin hakukoneen mukaan tämä on melko tarkkaan oikea etäisyys!