Pii

Tarkastellaan tuttua tasokäyrää — ympyrää. Matemaattinen vakio \(\pi\) (pii) on ympyrän kehän pituuden \(C\) ja ympyrän halkaisijan \(2r\) suhde:
\[ \pi = \frac{C}{2r}. \] Luku \(\pi\) on transkendenttinen ja sen desimaaliesitys koostuu äärettömän monesta desimaalista. Jo 2000-vuotta eaa. babylonialaiset epäilivät piin olevan joko \( 3\) tai \( 25/8 =3.125\) (yksi oikea desimaali). Antiikin Kreikan merkittävimpiin tiedemiehiin kuuluva Arkhimedes osoitti, että
\[ 3 + \frac{1}{7+\frac{1}{10}} < \pi < 3 + \frac{1}{7},\] mikä paljastaa luvun \(\pi\) kolmen desimaalin tarkkuudella. Arkhimedeen menetelmä perustui ympyrän sisälle ja sen ulkopuolelle piirrettyihin monikulmioihin, jotka mukailevat ympyrää mahdollisimman tarkasti. Osoitetaan Arkhimedeen menetelmään perustuen, että ympyrän pinta-alan kaava \(A = \pi r^2\) voidaan perustella geometrisesti.

Piirretään ympyrän sisälle säännöllinen \(n\)-kulmio, jonka kärjet ovat ympyrän kehällä. Tässä \(n\)-kulmiolla tarkoitetaan sellaista monikulmiota, jonka kaikki sivut yhtä pitkiä ja kaikki \(n\) kulmaa ovat yhtä suuria. Tällaisen \(n\)-kulmion pinta-alalle \(A_n\) on ilmiselvästi voimassa \(A_n < A\). Itse asiassa, \(n\)-kulmion pinta-ala \(A_n\) lähestyy lukua \(A\), kun kulmien lukumäärä \(n\) kasvaa.

Pinta-ala \(A_n\) koostuu tasakylkisistä kolmioista, joiden keskuskulmat ovat suuruudeltaan \(\frac{2\pi}{n}\) ja joilla on kaksi sivua pituudeltaan \(r\). Tämän kolmion pinta-ala voidaan kirjoittaa muodossa \(\frac{Mh}{2}\), missä \(h\) on kolmion korkeus ja \(M\) on sen kanta.

           

Tarkastellaan tasakylkisen kolmion puolikasta, joka on suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on \(r\), ja jonka kateettien pituudet ovat \(\frac{M}{2}\) ja \(h\). Suorakulmaisen kolmion huippukulma on \(\frac{\pi}{n}\). Tällöin alkeistrigonometrian mukaan
\[\sin \frac{\pi}{n} = \frac{M/2}{r} \qquad
\text{ja} \qquad \cos \frac{\pi}{n} = \frac{h}{r}.\] Näistä nähdään että \(M = 2r\sin \frac{\pi}{n}\) ja \(h = r\cos\frac{\pi}{n}\). Nyt koko monikulmion pinta-alaksi \(A_n\) saadaan
\[A_n = n \cdot \frac{Mh}{2} = n r^2 \sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n}.\] Kun \(n\) kasvaa rajatta, niin \(A_n\) lähenee lukua \(\pi r^2\). Tästä päätellään, että ympyrän pinta-ala on \(A = \pi r^2\).

Yllä esitetty argumentti perustuu raja-arvoon \(\lim_{n\to\infty} \, n \sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} = \pi\), mikä perustellaan yliopistomatematiikassa L’Hospitalin säännöllä.

Tunnettuja piihin liittyviä tuloksia

\(\displaystyle\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2+ \sqrt{2}}}}{2} \dotsb\)	Vièten kaava, 1593
\(\displaystyle\frac{\pi}{2} = \frac{2\cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \dotsb}{ 1\cdot 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \dotsb}\)	Wallisin kaava, 1656
\(\displaystyle\frac{\pi}{4} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \dotsb\)	Leibnizin sarja, 1674
\(e^{i\pi}+1=0\)	Eulerin identiteetti, maailman kaunein kaava, 1748
\(\displaystyle\tan\frac{\pi}{4}=1\in\mathbb{Q} \implies \text{\(\pi\) irrationaalinen}\)	Lambert, 1768
\(\text{\(\pi\) transkendenttinen}\)	Lindemann, 1882