Tasokuviot

Tarkastelemme eräiden tasokuvioiden pinta-alaa \(A\) ja ympärysmittaa eli piirin pituutta \(P\). Tyypillisiä esimerkkejä tasokuvioista ovat ympyrä, kolmio, suorakulmio, suunnikas ja puolisuunnikas.

Puolisuunnikas

Puolisuunnikkaalle \(A=\frac{a+b}{2} \cdot h\) ja \(P=a+b+c+d\). Pinta-alan kaava saadaan jakamalla puolisuunnikas kolmeen osaan, joista yksi on suorakulmio ja kaksi muuta suorakulmaisia kolmioita. Piirin pituuden kaava on triviaali.

Kolmio

Kolmion tapauksessa piirille pätee selvästi \(P=a+b+c\). Kolmion tuttu pinta-alan kaava \(A=\frac{bh}{2}\) saadaan kirjoitettua toisessa muodossa, kun otetaan huomioon trigonometriasta tuttu yhteys \[\sin\alpha = \frac{h}{a} \quad \Longleftrightarrow \quad h=a \cdot \sin\alpha. \] Saadaan \(A=\frac{bh}{2}=\frac{ab}{2} \cdot \sin\alpha \).

Kolmioon liittyy myös antiikin kreikkalaisen matemaatikon Heron Aleksandrialaisen kehittämä Heronin kaava, jonka avulla minkä tahansa kolmion pinta-ala voidaan laskea kolmion sivujen pituuksien avulla. Olkoon kolmion sivujen pituudet \(a\), \(b\) ja \(c\), kuten oheisessa kuvassa. Tällöin Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-ala on \[A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\] missä \(s=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}\) eli puolet kolmion piiristä.

Säännöllinen monikulmio

Tarkastellaan ensin säännöllisen viisikulmion pinta-alaa. Säännöllinen viisikulmio koostuu kymmenestä yhtäsuuresta suorakulmaisesta kolmiosta. Kuvassa olevan viisikulmion pinta-ala on \[ A = 5 \cdot \frac{ab}{2}. \] Toisaalta tiedetään, että \(a=r \cos{\alpha}\) ja \(\frac{b}{2}=r \sin{\alpha} \). Näin ollen suuremman kolmion, joka koostuu kahdesta suorakulmaisesta pienestä kolmiosta, pinta-ala on \[\frac{ab}{2} = r^2 \cos{\alpha} \sin{\alpha} = \frac{r^2}{2} \sin(2\alpha),\] missä \(2\alpha = \frac{2\pi}{5}\). Täten \[ A= \frac{5r^2}{2} \sin\left( \frac{2\pi}{5} \right) = \frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\, r^2.\]

Vastaavalla tavalla voit selvittää myös useampikulmaisten säännöllisten monikulmioiden pinta-alan! Säännöllisille \(n\)-kulmiolle on voimassa \[A = \frac{nr^2}{2}\, \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right). \] Säännöllisen monikulmion piiri \(P\) voidaan myös lausua kulmien lukumäärän \(n\) ja pituuden \(r\) funktiona. Keksitkö kaavan itse?

Ellipsi

Litistynyttä ympyrää muistuttavan ellipsin pinta-alan kaava on \(A=\pi ab\). Tapauksessa \(a=b\) ellipsi redusoituu tavalliseksi ympyräksi, jonka pinta-ala on tunnetusti \(A=\pi r^2\), missä \(r=a=b\).

Ellipsin piirin kaava on huomattavasti hankalampi, ja se ohitetaan.

Kochin lumihiutale

Mielenkiintoinen esimerkki tasokuviosta on niin kutsuttu Kochin lumihiutale. Tämä tasokuvio on fraktaali, jonka reunaviiva näyttää samankaltaiselta katsoipa sitä millä suurennoksella hyvänsä.

Ensimmäisessä vaiheessa lähdetään liikkeelle tasasivuisesta kolmiosta, jonka sivujen keskimmäinen kolmannes korvataan kahdella janalla, joiden pituus on kolmannes alkuperäisen tasasivuisen kolmion sivujen pituuksista. Nämä kaksi janaa muodostavat uuden tasasivuisen kolmion kaksi sivua.

Jatkamalla tätä prosessia äärettömän pitkälle muodostuu lumihiutaletta muistuttuva kuvio.

Jokaisessa vaiheessa käyrän pituus kasvaa kolmasosalla aiemmasta vaiheesta. Jos alkuperäisen tasasivuisen kolmion sivun pituus on \(a>0\), niin alussa \(P_0 = 3a\). Ensimmäisen vaiheen jälkeen \(P_1=3a\cdot \frac{4}{3}\), toisen vaiheen jälkeen \(P_2 = 3a\cdot \left( \frac{4}{3} \right)^2\) ja yleisesti k:n vaiheen jälkeen \[ P_k = 3a\cdot \left( \frac{4}{3} \right)^k, \quad k\in\mathbb{N}.\] Tästä voidaan päätellä, että reunakäyrä on äärettömän pitkä: \[ P = \lim_{k\to\infty} P_k = \lim_{k\to\infty} 3a\cdot \left( \frac{4}{3} \right)^k = \infty.\]

Voidaan osoittaa, että Kochin lumihiutalekäyrän pinta-ala on äärellinen, vaikka sen reunakäyrä onkin äärettömän pitkä!