Tasokuviot
Tarkastelemme eräiden tasokuvioiden pinta-alaa A ja ympärysmittaa eli piirin pituutta P. Tyypillisiä esimerkkejä tasokuvioista ovat ympyrä, kolmio, suorakulmio, suunnikas ja puolisuunnikas.
Puolisuunnikas
Puolisuunnikkaalle A=a+b2⋅h ja P=a+b+c+d. Pinta-alan kaava saadaan jakamalla puolisuunnikas kolmeen osaan, joista yksi on suorakulmio ja kaksi muuta suorakulmaisia kolmioita. Piirin pituuden kaava on triviaali.
Kolmio
Kolmion tapauksessa piirille pätee selvästi P=a+b+c. Kolmion tuttu pinta-alan kaava A=bh2 saadaan kirjoitettua toisessa muodossa, kun otetaan huomioon trigonometriasta tuttu yhteys sinα=ha⟺h=a⋅sinα. Saadaan A=bh2=ab2⋅sinα.
Kolmioon liittyy myös antiikin kreikkalaisen matemaatikon Heron Aleksandrialaisen kehittämä Heronin kaava, jonka avulla minkä tahansa kolmion pinta-ala voidaan laskea kolmion sivujen pituuksien avulla. Olkoon kolmion sivujen pituudet a, b ja c, kuten oheisessa kuvassa. Tällöin Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-ala on A=√s(s−a)(s−b)(s−c), missä s=P2=a+b+c2 eli puolet kolmion piiristä.
Säännöllinen monikulmio
Tarkastellaan ensin säännöllisen viisikulmion pinta-alaa. Säännöllinen viisikulmio koostuu kymmenestä yhtäsuuresta suorakulmaisesta kolmiosta. Kuvassa olevan viisikulmion pinta-ala on A=5⋅ab2. Toisaalta tiedetään, että a=rcosα ja b2=rsinα. Näin ollen suuremman kolmion, joka koostuu kahdesta suorakulmaisesta pienestä kolmiosta, pinta-ala on ab2=r2cosαsinα=r22sin(2α), missä 2α=2π5. Täten A=5r22sin(2π5)=5√10+2√58r2.
Vastaavalla tavalla voit selvittää myös useampikulmaisten säännöllisten monikulmioiden pinta-alan! Säännöllisille n-kulmiolle on voimassa A=nr22sin(2πn). Säännöllisen monikulmion piiri P voidaan myös lausua kulmien lukumäärän n ja pituuden r funktiona. Keksitkö kaavan itse?
Ellipsi
Litistynyttä ympyrää muistuttavan ellipsin pinta-alan kaava on A=πab. Tapauksessa a=b ellipsi redusoituu tavalliseksi ympyräksi, jonka pinta-ala on tunnetusti A=πr2, missä r=a=b.
Ellipsin piirin kaava on huomattavasti hankalampi, ja se ohitetaan.
Kochin lumihiutale
Mielenkiintoinen esimerkki tasokuviosta on niin kutsuttu Kochin lumihiutale. Tämä tasokuvio on fraktaali, jonka reunaviiva näyttää samankaltaiselta katsoipa sitä millä suurennoksella hyvänsä.
Ensimmäisessä vaiheessa lähdetään liikkeelle tasasivuisesta kolmiosta, jonka sivujen keskimmäinen kolmannes korvataan kahdella janalla, joiden pituus on kolmannes alkuperäisen tasasivuisen kolmion sivujen pituuksista. Nämä kaksi janaa muodostavat uuden tasasivuisen kolmion kaksi sivua.
Jatkamalla tätä prosessia äärettömän pitkälle muodostuu lumihiutaletta muistuttuva kuvio.
Jokaisessa vaiheessa käyrän pituus kasvaa kolmasosalla aiemmasta vaiheesta. Jos alkuperäisen tasasivuisen kolmion sivun pituus on a>0, niin alussa P0=3a. Ensimmäisen vaiheen jälkeen P1=3a⋅43, toisen vaiheen jälkeen P2=3a⋅(43)2 ja yleisesti k:n vaiheen jälkeen Pk=3a⋅(43)k,k∈N. Tästä voidaan päätellä, että reunakäyrä on äärettömän pitkä: P=limk→∞Pk=limk→∞3a⋅(43)k=∞.
Voidaan osoittaa, että Kochin lumihiutalekäyrän pinta-ala on äärellinen, vaikka sen reunakäyrä onkin äärettömän pitkä!